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■無限音階を作ろう　

上昇し続けるって何ですか?

- 上昇し続けるって何ですか? -(1998/11/12)

無限音階を作りたい

　無限音階というものがある。ド・レ・ミ・・・と音がどんどん高くなっていくように聞こえるのだが、いつまでたっても終わらず、ふと気づくとずっと前と同じような音の高さだというものである。Escherの無限階段の版画は有名だが、あれの音階版である。
　とにかく、無限音階を作ってみようというのが今回の目的である。参考までに、Eshcerのことに関しては藤原康司氏のWEBhttp://www.pluto.dti.ne.jp/~fwhd5468/に詳しい情報がある。 ちなみに、このような版画である。

Esherの無限上昇(下降)シリーズ

「上昇と下降」(左図、1960年作) 「滝」(右図、1961年作)

　本題をますます離れるが、飯沼　敏夫氏のWEBhttp://www2.gol.com/users/atoz/index.html は一見の価値がある。上の2枚の版画をQuickTimeVRで実感できる。素晴らしい。

無限音階の仕組み

　人間の聴力にはもちろん周波数特性がある。
ニコンの補聴器のWEBhttp://www.nikon.co.jp/main/jpn/society/hocyouki.htm
によれば20Hz-20kHzが通常聞こえる周波数の範囲であるという。例えば、CDのサンプリング周波数はが約40kHzであるのは、この20kHzの倍だからである。つまり、ナイキスト周波数による。
　もし、ある高さの「ド」の1オクターブ下、そのまた下、...それだけでなく、1オクターブ上、そのまた上...が一度になったら、人間の耳にはどう聞こえるだろうか。それは、やはり「ド」である。その時のスペクトルはこんな感じである。なお、横軸は2をベースにした変形の対数軸である。また、実際には「ド」ではない。

音の画像スペクトル(水色が人間の耳に聞こえる範囲)

それでは、そのような「レ」が鳴ったとしたら？もちろん、それも「レ」である。そのようにして、「ドレミファソラシド」とやるとどうだろう？最初の「ド」と最後の「ド」は全く同じになっている。しかし、人間の感覚としてはどんどん音の高さが上昇していくように感じる。これが無限音階の仕組みである。
　図で示すとこのようになる。なお、下の図中で水色は人間の耳に聞こえる周波数領域である。また、振幅はたんなる相対値である。

上昇していく音

最初の音

少し高くなった音

もっと高くなった音

もっと、もっと高くなった音

もっと、高くなると、元に戻っている

上昇し続けるように見えて、結局同じ所を回っているだけである。

作成した無限音階

　今回は12音の平均率音階を用いている。音階そのものについては「音階について考える」という別の話である。また、基本波形としては正弦波を用いている。20Hz以下の正弦波を基本波形として、その倍音を20kHz超まで均等に足しあわせたものをただ作っただけである。正弦波を用いたのは話を単純化するためである。
　ここに今回作成したMathematicaのNoteBookを置いておく。また、下が作成する途中のデータである。どこか間違っているような気もする。少し不安だ。

左図は基底となる周波数を示す。X軸が周波数、Y軸が何倍音かを示す。右図は平均率の音階。440HzのAから1オクターブ上のAまで。

作成した音声データの波形　(左が全波形、右はデータの最初の1000個)

　聞く際の注意だが、音声再生ソフトの設定を「自動繰り返し」にして欲しい。

　さて、これが作成した無限音階である。それっぽく聞こえるだろうか。

• Microsoft　WAVEファイルフォーマット
• Apple AIFFファイルフォーマット
• SUN,NeXT .auファイルフォーマット

■音階を勉強する　

単音シンセサイザーをつくる

　今回は、音階そのものについて勉強をしてみる。世の中には色々な音階がある。いわゆる12音階の中でも、純正調、平均率などいろいろある。12音階でないものもある。どのような音階があって、それぞれどのような音程になっているのか調べてみたい。といっても、まずは7音音階、すなわち、ダイアトニックスケールだけを考える。
　参考文献は手元にあった、「音楽の不思議」　別宮貞雄　著　音楽之友社である。なお、江尻氏の音律周波数表、音律について、音律実験(http://www.tg.rim.or.jp/~ejiri/)では色々な音階についての情報を知ることができる。5音階、すなわち、ペンタトニックスケールについての情報もある。同様なWEBサイトととしては「調律法ききくらべのページ」(http://www.top.or.jp/~murashin/index.htm)がある。ARATA氏の「MIDIで古典調律を」(http://www.nifty.ne.jp/forum/fmidicla/htmls/kotenj.html)にもかなりの情報がある。

　ここでは、簡単にピタゴラス音階、ツァルリーノ音階(純正調音階)、12平均率だけを考える。

　まずは、ピタゴラス音階を作る。Aという基準音を作る。その音に対して振動数が3/2倍の音をEとする。更に、Eに対して振動数が3/2倍の音をBとする。また、Aの振動数に対して、3/2倍の音をDとし、Dの4/3倍の音をGとする。そして、CGの3/2倍の音をCとする。最後に、Cの4/3倍の音をFとする。
　各音の倍、あるいは1/2の音のオクターブ違いの音を考えると、結果としてC,D,E,F,G,A,Bのダイアトニックの7音音階ができあがる。このピタゴラス音階は旋律が良く響くという性質がある。よく響くという言い方は誤解を生じるかもしれない。「うまく旋律がおさまる」といった方がいいかもしれない。

各音の間の振動数の比

	D/C	E/D	F/E	G/F	A/G	B/A	C/B
ピタゴラス音階	9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243
ツァルリーノ音階(純正調音階)	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9	9/8	16/15
12平均率	2^(2/12)	2^(2/12)	2^(1/12)	2^(2/12)	2^(2/12)	2^(2/12)	2^(1/12)

　次に、ツァルリーノ音階(純正調音階)は、各音の間の振動数の比を見てもわかるように、和音はよく響く。しかし、旋律として聞いた場合には、必ずしも良いわけではない。しかも、転調はできない。現在、一番使われている12平均率は振動数比をみてもわかるように必ずしも、和音の響きが良いわけではない。しかし、周波数を見てもわかるようにピタゴラス音階とツァルリーノ音階(純正調音階)の中ほどであり、和音の響き、旋律どちらも悪いわけではない。
　ただし、1曲の中で厳密に音階が同じというわけでもないらしい。プロの弦楽四重奏などでの演奏では、必ずしも12平均率でなく、曲の中でも意識して音程を変えるという話だ。
　また、ツァルリーノ音階(純正調音階)用に曲を作って聞いてみても、それほど良くなるとは思えない。確かにきれいに響くのだが、(私の感じでは)それだけなのである。

　セントで表したものも示す。セントは基準音の振動数Nに対して、振動数Mである音を、1200x log_2(M/N) と表す単位である。 セントで表せば、12平均率は当然きりのいい数字になる。

セントで表した各音の振動数

	C	D	E	F	G	A	B	C
ピタゴラス音階	0	204	408	498	702	906	1110	1200
ツァルリーノ音階(純正調音階)	0	204	386	498	702	884	1088	1200
12平均率	0	200	400	500	700	900	1000	1200

音階についてあまり長々と考えてもきりがないので、ひとまずここまでにしておく。なにしろ、奥が深すぎる。最後に各音階の周波数表を示す。なお、Cの音はいずれも440Hzにしてある。ここでいうCは音名ではない、階名である。つまり、絶対的な音の高さを示すもの(音名)でなくて、相対的な音の高さを示すもの(階名)である。むしろ、よく使われるドと言ったほうが良いかもしれない。「Aをドにして歌ってみよう」という時の「ド」である。ところで、ドレミファソラシドの語源はどこにあるのだろう？SoundOfMusicがdoeの歌のイメージから"do a dear ..."と鼻歌を歌うことはあるが、語源は一体？次の宿題にしたいと思う。
　さて、使用した周波数は全て江尻氏の音律周波数表、音律について、音律実験 (http://www.tg.rim.or.jp/~ejiri/)に記載されていたセントから最初の音を440Hzとし、周波数に変換してある。

Hz		C		D		E		F		G		A		H		C
平均率 12Equal		440		494		554		587		659		740		831		880
純正律 Pure(5-3)		440		495		550		587		660		733		825		880
純正律 Pure(5-3)'		440		495		550		594		660		743		825		880
純正律 PureQ-39(3-5)		440		489		550		587		652		733		815		880
純正律 PureT-71(5-3b)		440		495		570		594		660		760		855		880
メルセンヌ純正律		440		495		550		587		660		733		825		880
ピタゴラス律		440		495		557		587		660		743		835		880
中全音律		440		492		550		588		658		736		822		880
キルンベルガー 第２		440		495		550		587		660		738		825		880
キルンベルガー 第３		440		492		550		587		658		736		825		880
キルン-ヴェルク		440		492		552		587		658		736		828		880
ヴェルク 第1技法第３番		440		492		551		587		658		735		827		880
ヴェルクマイスター 第３'		440		495		553		589		660		740		830		880
ラモー		440		492		550		588		658		736		822		880
ヴァロッティ-ヤング		440		493		552		588		659		737		826		880
ヤング 第２		440		493		552		587		659		737		826		880
４３平均律		440		493		551		588		658		737		825		880
５３平均律		440		495		550		587		660		733		824		880

　それでは、このような音階を奏でることの出来るシンセサイザーを作ることにする。
National InstrumentsのLabViewのExample例の中でWindows環境でSoundを入出力するViがあったのでこれを利用する。また、その使用例としてプッシュホンの発信音を出力するものがあった。これを適当にいじって作ってみる。今回は簡単のために単音のみの出力である。いずれ、もうすこしちゃんとしたものを作ってみたい。

　作成したアプリケーションをここにおいておく。
Onkai.lzh 1,176kB(配布終了です。)
LabViewのライセンス上、ダウンロード数が50近くになったら削除する。(配布終了です。)

onkai.exeの動作画面

まずは、赤丸部分のボタンを押して実行モードにする。

　実行中の画面はこのようになる。

音階の選択画面

このように色々な音階を 選ぶことが出来る。

　鍵盤をマウスで押しても音が出る。また、ファンクションキーのF1からF8でも音を出すことができる。ちなみに「ホンキートンク」は適当につくったでたらめの音階である。それぞれの音階を単音で聞いても違いが分かるだろうか。