hirax.net::Keywords::「フーリエ変換」のブログ

■PDLSプラグイン　

　ちょっとバージョンアップ。多チャンネルに対応したセル表示プラグイン、鳥瞰図プラグイン、フーリエ変換プラグインを添付。もちろん、逆変換も可能。030213版。詳しくはPhotoshop_DLL_Linking_Systemに書いてみます。

■品川から三島までの振動データの「時間 v.s. 周波数解析」　

　せっかくなので、下りのこだま585号 8号車 通路側のシート上の「品川駅から三島駅まで」の揺れデータ(10ms間隔)の時間 v.s. 周波数解析も短時間フーリエ周波数解析(高速フーリエ変換とは別物ですね)で行ってみました。横軸が時間軸で品から三島までを示していて、縦軸が周波数軸で振動の周波数を示しています。
　左(or 上)のチャートで、時間軸(横軸)25分過ぎに現れる高周波数を多く含む振動は小田原で停車中に「ひかり」か「のぞみ」が通過した際の振動でしょうか？　確認しやすいように、短時間フーリエ変換ウィンドーサイズを小さくしたものを右(or 下)に示してみます。
　また、40分過ぎの激しい振動は熱海を出て箱根トンネルを通過中のものですね。…と、こんなことを調べても新幹線の振動が直ってくれるわけではないんですよね…。もうちょっと、快適にしてくれたら…良いなぁ。せめて、ハードディスク保護回路が働いたり、テーブルの上のコーヒーが倒れないくらいだったら良いなぁ。

■GPUによるFFTライブラリ　

　グラフィック処理用チップ(GPU)で高速フーリエ変換(FFT)を行う「GPUによるFFTライブラリ : GPUFFTW」の紹介。

■Wolfram Alphaが「色んな形を描き出す曲線を作る」ためのレシピ　

　数式処理ソフトMathematicaの開発元であるWolframが提供している知識検索エンジンWolfram Alphaは、さまざまな有名人の顔を表現する「曲線（パラメータ関数）」を作り出すことができます。そして、それだけでなく、 「ダースベーダー曲線」や 「ゾウさん曲線」あるいは 「車のコルベット曲線」「スーパーボール曲線」「PSY曲線」 といった、ありとあらゆるものを描き出す曲線を眺めることができます。 …そんな都合良く「図形を表す」曲線群は、一体どのようにして作り出されているのでしょうか？

　実は、こういった「画像を表現するパラメータ曲線（群）」は、（かなりの部分を）自動的な作業により、比較的簡単に作り出すことができます。 それはこのような手順です。

1. （通常画像から自動生成する場合）画像を白黒濃淡（グレー）画像にして、（少し画像をぼかした上で）濃淡値の等高線を作る
2. （通常画像から自動生成する場合）各等高線は（画像境界部などの例外を除けば）閉曲線になっているので（等高線が途切れたりすることはないですから）、各閉曲線をフーリエ記述子で表現する
3. （イラストから生成する場合）複数曲線からなるイラストを作り、各曲線をフーリエ記述子で表現する
4. 各曲線を表現するフーリエ記述子の低次の項（低次の３角関数）だけ抜き出し、リストにする（並べる）
5. …それらのパラメータ曲線群を並べたもの＝任意の図形を描き出す曲線の集合になる

　「フーリエ記述子での表現」というのは、簡単にいうと次のようなことです。（模様を描き出す）閉曲線がある時、その閉曲線を「何らかのパラメータにより表されている曲線だ」と考えてみることにします。たとえば、原点を中心にして「半径というパラメータが増減する」閉曲線を考えてみれば、それは「星形のような模様を１周するごとに描き出す（描くことを繰り返す）曲線（カーブ）」になります。あるいは曲線を（最初の位置からの）角度変化といったパラメータなどで表すこともできるでしょう。とにかく、そんな風に曲線を、（関数を固定して）変化するパラメータで表現されるパラメータ曲線だと考えてみるのです。

　そして、そんな（単純のために閉曲線であるとします）閉曲線を描き出す（１周するごとに周期関数となる）パラメータの動きをフーリエ変換することができますから、結局のところ３角関数を重ね合わせたものをパラメータにして表現される曲線として、任意の（閉）曲線を表すことができる…というわけです。これが図形のフーリエ記述子による表現です。

　さらに、フーリエ変換された（周期関数である）パラメータを３角関数の低次の項だけで表せば（高次の３角関数を省略すれば）、高周波数成分が消えて、滑らかで丸っこい曲線になります。つまり、手書きした感じの図形になるのです（式も短くなりますしね）。それが、結局のところ、Wolfram Alphaが作り出す「さまざまな曲線」になります。実際、「表示されている曲線を示す関数リスト」を眺めてみると、３角関数で表されていることがわかります。

　これがWolfram Alphaが「色んな形を描き出す曲線を作る」ためのレシピです。…作り方を眺めてみれば、あまり「意味や価値・美しさのない曲線（存在）」に思えてしまうかもしれませんね。

■「初音ミクやアラレちゃんを描く曲線」を作るテクニックの秘密　

　「初音ミクやアラレちゃんを描く曲線」を作るテクニックの秘密を書きました。

　実は、こうした曲線数式は、「フーリエ記述子」という技法を使って自動・単純作業から簡単に作り出すことができるものです。ちなみに、「フーリエ記述子」というのは、たとえば次のようなテクニックです。

　…これらが、知識検索エンジンWolfram Alphaが作り出す「さまざまな曲線数式」の作りテクニックの秘密です。…実際、「表示されている曲線を示す数式」を眺めてみれば、「三角関数の足し合わせ」で表されていることがわかります（つまり、数学的には、実際のところ、それほど美しいものではありません）。