2013-02-16[n年前へ]
■Wolfram Alphaが「色んな形を描き出す曲線を作る」ためのレシピ 
数式処理ソフトMathematicaの開発元であるWolframが提供している知識検索エンジンWolfram Alphaは、さまざまな有名人の顔を表現する「曲線（パラメータ関数）」を作り出すことができます。そして、それだけでなく、
「ダースベーダー曲線」や
「ゾウさん曲線」あるいは
「車のコルベット曲線」「スーパーボール曲線」「PSY曲線」
といった、ありとあらゆるものを描き出す曲線を眺めることができます。
…そんな都合良く「図形を表す」曲線群は、一体どのようにして作り出されているのでしょうか？
実は、こういった「画像を表現するパラメータ曲線（群）」は、（かなりの部分を）自動的な作業により、比較的簡単に作り出すことができます。
それはこのような手順です。
- （通常画像から自動生成する場合）画像を白黒濃淡（グレー）画像にして、（少し画像をぼかした上で）濃淡値の等高線を作る
- （通常画像から自動生成する場合）各等高線は（画像境界部などの例外を除けば）閉曲線になっているので（等高線が途切れたりすることはないですから）、各閉曲線をフーリエ記述子で表現する
- （イラストから生成する場合）複数曲線からなるイラストを作り、各曲線をフーリエ記述子で表現する
- 各曲線を表現するフーリエ記述子の低次の項（低次の３角関数）だけ抜き出し、リストにする（並べる）
- …それらのパラメータ曲線群を並べたもの＝任意の図形を描き出す曲線の集合になる
「フーリエ記述子での表現」というのは、簡単にいうと次のようなことです。（模様を描き出す）閉曲線がある時、その閉曲線を「何らかのパラメータにより表されている曲線だ」と考えてみることにします。たとえば、原点を中心にして「半径というパラメータが増減する」閉曲線を考えてみれば、それは「星形のような模様を１周するごとに描き出す（描くことを繰り返す）曲線（カーブ）」になります。あるいは曲線を（最初の位置からの）角度変化といったパラメータなどで表すこともできるでしょう。とにかく、そんな風に曲線を、（関数を固定して）変化するパラメータで表現されるパラメータ曲線だと考えてみるのです。
そして、そんな（単純のために閉曲線であるとします）閉曲線を描き出す（１周するごとに周期関数となる）パラメータの動きをフーリエ変換することができますから、結局のところ３角関数を重ね合わせたものをパラメータにして表現される曲線として、任意の（閉）曲線を表すことができる…というわけです。これが図形のフーリエ記述子による表現です。
さらに、フーリエ変換された（周期関数である）パラメータを３角関数の低次の項だけで表せば（高次の３角関数を省略すれば）、高周波数成分が消えて、滑らかで丸っこい曲線になります。つまり、手書きした感じの図形になるのです（式も短くなりますしね）。それが、結局のところ、Wolfram Alphaが作り出す「さまざまな曲線」になります。実際、「表示されている曲線を示す関数リスト」を眺めてみると、３角関数で表されていることがわかります。
これがWolfram Alphaが「色んな形を描き出す曲線を作る」ためのレシピです。…作り方を眺めてみれば、あまり「意味や価値・美しさのない曲線（存在）」に思えてしまうかもしれませんね。
」など。