hirax.net::Keywords::「ラプラス方程式」のブログ

■品川　

　ラプラス方程式を差分化して、エクセルで静電界計算をしているところ。複合誘電体で「電位と誘電率セルが"セル半分"だけずれている」ように設定して計算させる辺りから、手が止まる受講生が続出し、「エクセル」がキライになるティーチング・アシスタントも続出する？
　半透明化できるレイヤー(シート)構造を持つ「エクセルもどき」を作ってみたら、もっとわかりやすくなるのだろうか？ 懇親会で「深夜番組に出てましたよね？」と言われ、背中に２リットルくらい汗をかく。

■ラプラス方程式とドンキホーテ　

　from n年前へ.

　ラプラス方程式を差分化して、エクセルで静電界計算をしているところ。

ドンキホーテは、自分が何を行っているか、知っていたのだ。知っていながら、人を楽しませていたのである。

　善人の数だけ悪人が必要なように、謙虚な人の数だけ思い上がった人が必要なのだ。

　奴隷の数だけ主人が必要になるように、賢い人の数だけ馬鹿が必要なのだろうか。何だかカネゴンは生きることを許してもらったような心持ち

　ネット上のニュースを流し読みしがちな自分を反省しつつ、図書館へ行き「ドンキホーテ」を手に取ってみる。けれど、その本のあまりの厚さに衝撃を受けパラパラと流し読みして本棚に戻す。

　ハムレットは日記を書くだろう。ドンキホーテは日記を書かない。

　枝に言葉を書き込みます。あなたの言葉を枝葉にして樹が育ってゆきます。参加者が増えると葉がどんどん増え、「 エコトノハ 」の樹は大きな言葉の樹に育っていきます。　そして、「 エコトノハ 」プロジェクトで育った樹木は、書き込まれた葉100枚（100クリック）を、植林1本分として換算し、オーストラリアカンガルー島での植林計画にプラスされていきます。

■エクセルでシミュレーション Vol.1 [静電界準備 編]　

　「表計算プログラムでシミュレーションをする」というのは、物理などにそれほど詳しくない人が、複雑な数式で記述された世界を感覚的を大雑把に・感覚的に理解するのに、とても向いています。もちろん、そこには、かなり単純であることなどの前提条件がいくつもあります。けれど、自分のコンピュータで、マウスを動かしキーボードを少し叩くだけで、物理シミュレーションができたりすると何だか少し嬉しくなりますし、その計算過程を通して、「自然なこの世界」を「自然に」納得できる、というのは（私たちのような勉強世界からの REST OF US にとっては）とても素晴らしいと思います。

　ところで、現在では”表計算プログラム＝マイクロソフトのエクセル(Microsoft Excel)”だと考える人も多いことでしょう。だから、上に書いたことを言い換えれば、「エクセルでシミュレーションをする」のは、とても楽しい勉強になるということになります。

　自分自身でエクセルでシミュレーションをすることもたまにあります。また、「エクセルで物理現象のシミュレーションをする」という趣旨の講習会にも、何回も関わってきました。ふと、そういった場で得たことを一回整理してみようと思いました。そこで、一番初めの今日は、「静電界を記述するポワソン方程式をエクセルで計算するための前準備（事前確認）」をしてみました。

　まず、静電場を記述するポワソン方程式をテーラ級数展開することで離散化し、差分方程式に変えてみます。２次元世界を離散化するということは、エクセルの表がそうであるように「世界（画面）をセルで分割する」ということです。

　上で（x,y座標空間での）差分方程式にしたものを、さらにエクセル（表計算ソフトウェア）で解くときのやり方を図解したものが下の図です。「ある点の電位（φ）は上下左右の電位の平均にその点の(係数がかかった)空間電荷を加えたもの」になっているわけです。

　こういったセルの値が「（そのセル自身を含む）セル間の関係式」で表わされるような計算式を解くためには、エクセルの設定で「反復計算を行う」という設定を有効にしておく必要があります。エクセルのバージョンによってその設定メニュー場所は違いますが、たとえば、下の画面はExcel 2003の設定ダイアログの例です。

　以上で、「静電界を記述するポワソン方程式をエクセルで計算するための前準備（事前確認）」が終わりましたから、次は実際に「身近な静電界」をエクセルでシミュレーション計算してみたいと思います。

■エクセルでシミュレーション Vol.2 [静電界計算の動画 編]　

　エクセルでシミュレーション Vol.1 [静電界準備 編]で、（ポワソン方程式で表わされる）静電場の計算をエクセルでする準備作業ができたので、実際にエクセルで静電界計算をしてみました。どのような状態を計算してみたかというと、「夏の空に帯電した雲が生じた時の、地面から空へ向かう空間の断面の電場」の状態です。地面をグラウンド＝０Vとして、空に電荷を帯びた雲が浮かんでいる状態を計算してみました。エクセルを使って、その計算シミュレーションをゼロから作り上げ、結果を描き終わるまでの8分弱の動画が下のものになります。また、mpeg形式の動画ファイル(65MB)もここに置いておきます。

　夏の雷雲は負の電荷を帯びていることが多い、といいます。上のシミュレーション条件では、（動画を見ればわかるように、式後半に正電荷を入れましたから）雲の部分に正電荷を帯びさせましたが、そこは正負をひっくり返せば良いだけです。夏の日、暑い午後、都会や田舎の空に雷雲が見えてきたら、そのときの電場シミュレーションを（突然の落雷による停電に気をつけながら）PCのエクセル上でしてみるのも、気分転換になるかもしれません。

■エクセルでシミュレーション Vol.4 [定常理想流体準備 編]　

　夏の午後の空に浮かぶ雷雲を見ながら、昨日は静電界シミュレーションをマイクロソフト・エクセルで手軽にしてみまたわけです。暑い夏空をシミュレーションしてみたので、今度は、冷えた湧水が地下で流れているを眺めてみたくなりました。そんなシミュレーション計算をするために、理想流体の「定常的な流れ場」を表計算ソフトで解くための前準備を、今日はしてみました。

　というわけで、そのためのラクガキが下の画像になります。

　ここまでくると、もう「エクセルでシミュレーション Vol.1 [静電界準備 編]」と同じです。ポワソン方程式とラプラス方程式は、端的に言ってしまえばほとんど同じなので、後は「２次元の（ポテンシャル）流れ場を記述するラプラス方程式を、（エクセルの）セル間の計算式で解く」ことができることになります。