hirax.net::Keywords::「人口密度」のブログ

■分数階微分に基づく画像特性を考えてみたい　

同じ年齢でも大違い

前回、分数階微分の謎 - 線形代数、分数階微分、シュレディンガー方程式の三題話- で分数階微分について調べた。例えば、0.7階微分といった、整数階でない微分である。今回はそれを使った応用を考えてみたい。

人間の視覚というものは明るいものは強く感じることができる。これは当たり前である。そして、それだけでなく、強さが変化している所にも(興味を)強く感じ取るようになっている。岡本安春氏の「Delphiでエンジョイプログラミング」によれば、そのような考えはLaming(1986)がdifferential coupling(差動結合)として発表しているらしい。

ということは、人間が画像を感じる特性というものは、画像強度と画像強度変化(画像強度の一階微分)の中間的なものであると言うことができるかもしれない。とすれば、分数階微分を導入すれば面白い表現ができるかもしれない。
今回は、そういう考えのもとに分数階微分を用いて人間の画像特性について考えてみたい。

まずは、元画像を示す。元画像はガウス分布に基づいて作成されたものである。

元画像とその鳥瞰図

まずは、左の元画像を見て欲しい。どこに強い感じを受けるだろうか？白い部分はもちろんであるが、白と黒の境界部にも強い感じを受けるだろう。ギザギザになっているのはデータが少ないからなので、無視して欲しい。というわけで、人間の視覚画像特性は

• 画像強度
• 画像強度変化(画像強度の一階微分)

元画像から元画像の一階微分までの分数階微分画像

元画像
1/2階微分画像
15/20階微分画像
1階微分画像

白地に黒画像バージョンも示しておく。紙の上の画像に慣れた人にはこちらの方が良いだろう。

元画像から元画像の一階微分までの分数階微分画像(白地背景)

元画像

1/2階微分画像

15/20階微分画像

1階微分画像

なお、今回の画像の作成は次のような手順で行っている。

1. 1次元のガウス分布を作成する。
2. 微分値が正であるような半分の領域を線対称に回転させ、2次元画像を作成する。

今回は

• 画像強度
• 画像強度変化(画像強度の一階微分)

• 電位
• 電界(電位の微分、といっても本来は電位が電界の積分か)

• 人口密度
• 人口密度変化(人口密度の微分)

さて、分数階微分を調べる中で、バナッハ空間についても調べた。調べ始めた時には、聞き覚えもなかったが、調べてみるとヒルベルト空間の導入で登場していた。きれいさっぱり忘れていたようである。
京大数学教室 徳永健一氏のWEB (http://www.kusm.kyoto-u.ac.jp/~kenichi/)
から辿れる「「年齢の本」数学者版」によれば
バナッハがバナッハ空間を提唱したのは30歳の時であるらしい。(http://www.kusm.kyoto-u.ac.jp/~kenichi/age/30.html)
うーん...

■ザク（量産型）　

　会社の後輩の結婚式の二次会で新宿。ものすごい人口密度でビックリ。
　後半、なかなか当たらないビンゴ。商品はデスラー砲とかガンダムのゲルググのプラモとかマニアックなものばかり。新郎新婦も25.6歳くらいだし、私達数人を除けば、きっとみんな二十代だ。そんな品物に喜ぶ年の人達なのだろうか？うむむ？　で、最後のほうで何とか当たったロボSさんは「ボク、これイラナイ」と量産型ザクのプラモデルを私にくれた。ちょっとうれしい。

■街の灯 (City Light)　

人口密度と夜の光

　先日、こんな綺麗な画像を教えてもらった。人工衛星(DMSP)から撮影された地球の夜景だ。世界中の色々な街が光り輝いていて、とても美しい景色が見える。この下に貼り付けてある写真はとても小さい写真なのだけれども、オリジナルの写真を眺めていると、色んな国の街の灯が目の前に浮かび上がってくるかのように美しい景色に見える。
 

人工衛星(DMSP)から撮影された地球の夜景( City Lights )

( http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap020810.html)

　他にもこの衛星を利用した画像は眺めることができて、例えば画像サイズが(30000×15000)なんていうものさえ眺めることができる。そんな大きな画像だと、世界中に散らばる「それぞれの街の灯」がそれぞれ別に浮かび上がってくるようにさえ見える。そんな夜景の世界地図を「何て美しい景色なんだろう」とワクワクしながら、自分がよく知っている日本列島周辺を眺めていると、何だか不思議な景色が目に入ってきた。何だか眺めている景色の中に小さな違和感が見えてきたのだ。おそらく、日本周辺を眺めてみればきっと誰でもその不思議な景色に気づくに違いない。
 

日本周辺の夜景

　そう、朝鮮半島が何だか少しヘンなのである。韓国と中国の灯に挟まれた辺り、つまりは北朝鮮が真っ暗なのだ。「光り輝く」「偉大なる首領様」のいる国とは思えないくらいに真っ暗なのである。ワタシは「偉大なる首領様」はてっきり無意味に飾ることが大好きなのかと思っていたが、どうやら東京電力のでんこちゃん並に省エネ・電気の節約に励んでいるのだろう。北朝鮮は省エネ先進国だったのである。あるいは、もしかしたら北朝鮮は中国の奥地並みに人口密度がとても低く、街なんかほとんどなくて、だから夜の街の灯なんか無いだけなのかもしれない。
　そうでないとしたら、この夜景はとても何か不安になる景色だ。

　そこで、「世界の人口密度分布」を眺めてみることにした。それが下の世界地図画像である。灰色の地域は人口密度が低くて、白色が中くらいの人口密度で、紫色の地域はとても人口密度の高い地域だ。
　この世界の人口密度分布を眺めてみると、北朝鮮は決して人口密度が低いわけでなくて、単に「人口密度の割に夜の街の灯はとても暗い」ということが判る。北朝鮮には多くの人が住んでいてきっと多くの街があるにも関わらず、夜の街は真っ暗なのだ。そんな不安になる国が、「光り輝く」「偉大なる首領様」のいる国だったのである。
 

世界の人口密度分布

　ところで、そんな「人口密度の割に夜の街の灯はとても暗い」地域は決して北朝鮮だけではないだろう。日本のように「人口密度が高くて夜の街の灯も輝いている」わけではない場所が世界中にはたくさんあるはずだ。人工衛星から撮影された地球の夜景地図では、そんな「夜の街の灯がとても暗い」地域は見えてこないのだけれども、世界地図の中には、そんな地域が散らばっているはずだ。

　世界地図の中に散らばるそんな地域を目の前に浮かび上がらせるために、最初の画像「人工衛星から撮影された地球の夜景」と「世界の人口密度分布」の二枚の画像を利用して、画像解析により「人口密度に対する夜の街の灯の明るさ」を算出してみた。それが下に示した画像だ。ここで、黄色で示した地域は「人口密度の割に夜の街の灯はとても暗い地域」で、紫色で示した地域は「人口密度は高く、夜の街の灯も輝いている地域」である。

　黄色い地域は北朝鮮のように「人は多くいるのに夜は真っ暗で華やかな街の灯りなんかない」地域で、紫の地域はアメリカやヨーロッパ、そして日本のような「人口密度の割に夜の街の灯りが輝いている」地域である。
 

「人口密度に対する夜の街の灯の明るさ」

黄色の地域：　人口密度の割に夜の街の灯はとても暗い地域
紫色の地域：　人口密度の割に、夜の街の灯も輝いている地域

　こうしてこの結果の世界地図を眺めていると、アフリカを中心としてアジア周辺にも「人口密度の割に夜の街の灯はとても暗い地域」が広がっているようすが見えてくる。特に、「人工衛星から撮影された地球の夜景」では闇に埋もれていたアフリカの辺りがこの世界地図の中では黄色くはっきりと浮かび上がってくる。
 

　「人工衛星から撮影された地球の夜景」＝「街の灯」を一番最初に眺めた時には、こんな黄色い地域は見えなかった。明るく綺麗な夜景は見えていたけれど、こんな「多くの人がいるのにとても暗い地域」はあの写真には写っていなかった。少なくとも私には見えていなかったように思う。
　だけど、今は最初に眺めたあの「地球の夜景」の写真の中からだって、とても綺麗なだけの「地球の夜景」とは少しだけ違う「街の灯」が見えてくるような気がする。そう、ちょうどチャップリンの「街の灯」に登場する花売り娘、見えなかった目が治り、見えていなかった景色を目の前にした娘のような気分だ。少しだけ夜目がきくようになった私には、前とは少し違うそんな「街の灯り」が見えるような気がする。人工衛星からの写真には写っていなかった「街の灯」が見え宇ような気がする。　あなたはどうですか？あなたは見えるようになりました？