hirax.net::Keywords::「ノイズ」のブログ

■Photohoの乱数プラグインを作成する　

　「2項分布のムラについて考える」の関連して、Photoshopの乱数プラグインを作成したのでメモしておく。

　PhotShopはとても便利なソフトである。画像を取り扱うにはトップクラスと言っても良い。あえて、難を挙げるならば8Bit階調が基本という所である。もちろん、12bit階調なども扱えるのは知っているが、基本機能とは言えないと思う。
　しかし、PhotoShopで凝ったことをしようとすると、Pluginを作らざるを得ない。PhotoShopでPluginをつくるには2つのやり方がある。それは、

• Adobe提供のPlugin SftwareDevelopmentKitを使ってPluginを作る。
• FilterFactoryを使ってPluginを作成する。

である。目的によってどちらを使うか選択すれば良い。

　今回はランダムノイズをつくるためのプラグイン作成が目的である。その程度であれば、FilterFactoryを使うのが簡単で良い。

FilterFactoryを使う

まずは、FilterFactoryを使う。

　今回は、ランダムノイズを作るのが目的である。ランダムな(0から255)の値を与えるプラグインである。最初にどんな画像があるかなど関係がない。とにかく乱数を計算し、画像に出力する。今回、1チャンネルにのみ乱数を与えるプラグインと、各チャンネルに独立に乱数を与えるプラグインの2種類を作成する。
　まずは、Redチャンネルにのみ乱数を与えるものをつくる。以下がそのパラメータである。

Redのチャンネルに　(0...255)の乱数を与える。

たった、これだけである。 Redに乱数を与え、Green,Blueのチャンネルには0を与える。

　このプラグインで作成した画像がこれである。ここでは、Redのレイヤーをグレースケールに変換してある。

　もうひとつ、各色に乱数を与えるプラグインのサンプル画像はこのようになる。

　今回作成したWindows版のプラグインをここにおいておく。Mac版も作るのは同じく簡単である。Mac版やCMYK版が欲しいという要望があれば教えて頂きたい。SDKを使う場合などはむしろMac版の方が簡単である。

• Redのみ乱数を与えるプラグイン。
• 各色に乱数を与えるプラグイン。

　このファイルを解凍して、プラグインをPhotoshopのPluginディレクトリのFiltersの下に置けば使えるようになる。JunHiraxというジャンルのRnd2redとRnd2RGBである。

　さて、試しに使ってみる。1000x1000ドットのランダムノイズ画像を作成してみる。その画像はここに載せるには大きすぎる。そのため、その一部を左下に示す。その画像に対して各領域10x10の100ドットで平均し、100x100に変換した画像を右に示す。詳しくは「2項分布を考える」を見て欲しいが、100ドットで平均したくらいではフラットにはならない。それどころか、有限のいくら広い範囲で平均しても正確にはフラットにはならない。もし、フラットになるのであれば、それはランダムな2項分布ではない。もちろん、PhotoShopの丸め誤差とかの話は別にしておく。また、「2項分布を考える」の際は1次元の1成分データであったが、今回は2次元3成分データである。そのため、人間にはよりフラットに見えにくい。相対的な色差に対しては人間の目は敏感だからである。

右が作成した1000x1000ドットのランダムノイズ画像の一部(137x90)、
左は作成した1000x1000ドットのランダムノイズ画像を各領域100ドット(10x10ドット)で平均することにより、100x100に変換したもの

　これを使って、適当に遊んでみると面白いのではないだろうか。
　今回の例も「2項分布の特性：どんなに広い領域であっても、領域中の平均が一定でない」の当然の結果である。仮に、ある広い領域中の平均が一定であるような確率過程を用いればこのようなことは生じない。もしも、そのような確率過程に基づくものがあったら、部分部分はランダムに見えても、広い領域ではフラットに見えるのである。

■カラオケ採点機の謎?　

夜空ノムコウ (86点)

　カラオケに行くと、必ずといっていいほど、カラオケ採点機(機能)がある。カラオケ採点機というのはどういう基準で採点しているのだろうか。「今のけっこう良かったのになぁ」という時でも、60点位であったり、「おいおい、今のは別の曲だろう」というような時でも、90点台だったりする。もちろん、カラオケ採点機なんて、たいしたことはしていないだろうとは思っているのだが。

　まずは、採点機の評価と人間の主観評価の違いを調べてたい。
　実験条件は次の通りである。

• 歌った人:A氏、B氏
• 人の主観評価として採点した人:A氏、B氏(最初の2曲はB氏のみが評価した)
• 人の主観評価:5点満点
• カラオケのメーカー:セガのカラオケ

　もちろん、人間の主観評価には(人間関係のしがらみなどで)ノイズも混じっているとは思う。

　ちなみに、これがそのカラオケの機械とカタログである。

左がカラオケの採点機能のパンフレット、右がカラオケの機械

　それでは、これが結果である。

点数

曲順	歌った人	人による評価	採点機による評価
1	A	1.5	84
2	B	3.0	91
3	A	2.0	74
4	B	3.7	79
5	A	3.2	82
6	B	4.0	79
7	A	2.5	78
8	B	3.5	84
9	A	4.1	82
10	B	4.2	86
11	A	3.7	84
12	B	4.1	96

　カラオケをやっている時の実感では、カラオケ採点機の評価と人による評価は全然違うという印象があった。しかし、グラフにしてみると、このようになる。このグラフ中では水平軸が人の主観評価を示し、縦軸が採点機の評価を示している。

人による評価と採点機による評価

　人の主観評価が高いほど、採点機の評価も高くなっているのがわかる。また、人の主観評価においても、採点機の評価においても、A氏よりもB氏の方が点数が高い。A、B両氏とも最初の一回目において、人の主観評価よりも採点機の評価がずいぶんと高くなっている。

　こうしてみると、それほど人間の主観評価と採点機の評価が無関係というわけではなさそうである。もちろん、誤差は大きいが、「機械にオレの気持ちが判ってたまるかぁ！」と怒るほどのことでもないようだ。採点機の評価基準がA氏とB氏の間でも、違いがあるわけではないようだ。

　人による評価と採点機による評価の(推定)対応ラインをグラフにしたものを最後に挙げておく。このグラフからすると、セガのカラオケは

• いまいち = 75点
• まぁまぁ = 80点
• なかなか = 90点

ということになる。

人による評価と採点機による評価の(推定)対応ライン

　
　カラオケ採点機については、これで終わることなく、まだまだ調べていきたい。技術的にはどのようなことを行っているのか、各社の技術間で差はあるのか、など色々調べてみたいと思う。

■2項分布のムラについて考える　

　今回は、分散について考えたい。確率統計というのは感覚的に分かりにくい。ある確率分布が合った時に、その分布が人間にとって均一であると感じるのはどういうことなのか、ということについて考えてみる。

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　今回の目的を説明するために、少し準備を行う。
　まず、2048個の[ランダムに0から256の値を持つもの]からなる1次元データを作成する。以下の左図がそのデータである。ここで、X軸がデータの順番であり、1から2048までを示し、Y軸がデータの値である。Y軸の数値ラベルは0から256の値である。折れ線グラフの方が1次元データとして実感できるのだが、そうすると真っ黒になってしまうので、点プロットグラフにしてある。
　また、[0から256]のデータの出現頻度のグラフ(つまりヒストグラム)を右の図として示す。

作成した1次元データ(左図)、とそのヒストグラム(右図)

　右のヒストグラムを見てもわかるが、2048個程度のデータでは出現頻度がフラットになるわけではない。また、その出現領域は均等にばらけるわけではない。また、左のグラフを見てみても、なにかムラがあるように感じてしまう。
　右のグラフを見ると、下は2回から上は15回位の間で出現頻度がばらついている。その頻度のムラは分散として計算することができる。今回の場合は2項分布である。

　今回の目的は、そのムラを考えることである。広い範囲で見たときには、どの程度フラットだろうか。例えば、最初の100個のデータの平均と、次の100個のデータの平均というのはどの程度同じだろうか。それが1000個ならどうだろうか。1000個平均してみても場所によって、平均値はばらついているだろうか。もし、ばらついているとしたら、2項分布の確率過程を導入すると、広い範囲で見てみても認識できるくらいのばらつきを導入していることになる。その「ばらつき=ムラ」を人間が感じないためには、どの程度まで平均しなければならないのか。そういったことである。

　ここで、先の2048個の1次元データは2048dpiの1次元画像データである、ということにしてみる。したがって、X軸の領域はトータル1inchを示すことになる。そして、以下の作業をする。

1. 2048dpiの1次元画像データを2値化(128でしきい値とした)したものを8個に分断する。
2. それぞれ、分断したデータ(256個)内で平均を取る。そなわち、8ppi(pixelper inch)の1次元データができる。

その1次元画像データを左下に示す。また、その8個のデータでヒストグラムを右下に示す。

8ppiへと変換した1次元データ(左図)、そのヒストグラム(右図)

　右のヒストグラムを見ると8ppiに直した段階でもまだばらつきがあることがわかる。110-135位の間でばらついている。中心値128のデータにして振れが25程度ということは、シグナルに対して20%弱のノイズが発生していることになる。8ppiでシグナルに対して20%程度の揺れがあれば、人間が認識してしまう領域だろう。これは2項分布という偏りを導入した結果である。256個で平均してみてもこれほど偏りが残っている。

　すると、2048dpiの(1/2の確率で2値化された)データというものは、今回の目的である「ムラを感じないための条件」を満たしていないということになる。ここでは画像に例えているが、別に画像だけの話ではない。

　それでは、いくつか条件を振ってみたい。各々の条件下で示すグラフの領域は以下を示す。

図の領域の説明

オリジナルの1次元データ	左のヒストグラム。条件違いで軸が揃ってないのに注意。
8ppiに変換したもの Y軸はいずれも相対値であることに注意。Max=256と読み直す。	左のヒストグラム X軸はいずれも相対値であることに注意。Max=256と読み直す。

2048dpi

オリジナルの1次元データ	左のヒストグラム
8ppiに変換したもの	左のヒストグラム

　これでは、ばらついている。

4096dpi

オリジナルの1次元データ	左のヒストグラム
8ppiに変換したもの	左のヒストグラム

　512個で平均している。かなり、平滑になった。

8192dpi

オリジナルの1次元データ	左のヒストグラム
8ppiに変換したもの	左のヒストグラム

　どうだろうか。まだ、十分ではないかもしれないが、最初に比べればずいぶんと良いのが判ると思う。2項分布の分布がシャープになるためである。1024個で平均をとってやっとこの程度のばらつきになる。ここでは、全て8ppiで評価しているが、本来もっと高い周波数で評価すべきだろう。その時にはオリジナル画像は8192dpiでは不十分だろう。なお、オリジナルの1次元データのヒストグラムの鉛直軸が揃っていなので、一見データ数が増えてもヒストグラムが変化していないように見えるが、きちんと見てみると(数字ラベルが変な風にずれていて見にくいが...)データ数が多い方がヒストグラムがフラットなのがわかる。

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　上の右下で出ているようなヒストグラムが2項分布であることは、サンプルを多く(しかし、試行回数を少なく)すればよくわかる。例えば、このようになる。

　関係ないが、この時に使った40960個のオリジナルデータのヒストグラムが以下である。かなりフラットである。このヒストグラムの軸を揃えるのを忘れたのは要反省だ。見にくいが、鉛直軸は140-200の領域になっている。

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　今回の話はあることの前準備なので、これだけでは話しが全く見えないかもしれない。というわけで、

続く...

■宇宙人はどこにいる?　

画像復元を勉強してみたい その1

　知人から「自称UFO写真」というのものが冗談半分(いや100%位か)で送られてきた。その写真はボケボケの画像なので何がなんだかなんだかわからない。そこで、ぼけぼけ画像を復元する方法を勉強してみたい。UFOは冗談として、画像復元において進んでいるのは天文分野である。そこで、このようなタイトルなのである。もちろん、画像復元の問題は奥が深すぎるので、じっくりと時間をかけてみる。今回はMathematicaを使って試行錯誤を行った。

　ボケ画像を復元するには、ボケ画像がどのように出来ているかを考えなければならない。そこで、ごく単純なぼけ画像を考えてみる。まずは以下の画像のような場合である。

左の点画像が右のようにボケる

画像:1

画像:2

　右の点画像が何らかの理由で右の画像のようにボケる場合だ。焦点のボケた写真などはこんな感じだろう。例えば、これはレンズの焦点合わせがおかしいカメラの画像だと思ってみる。そのカメラで風景を撮るとこのようになる。

本来、左のような風景がボケて右の写真のようになる。

画像:3

画像:4

　偶然、写真にカメラが写っているが、偶然である。別にそのカメラが焦点がボケボケといっているわけではない。今回、やりたいことは右上の写真(画像:4)を元に、左上の写真(画像:3)を復元したいということである。

　画像:1のような点画像が、画像:2のような分布のボケ画像になるとすると、次のような関係が成り立つ。

(式:1) 画像:4 = 画像:3 * 画像:2

画像:1のような点画像が画像:2になるなら、それを参照すれば、画像:3のような点画像の集合がどう
ボケるかは計算できる。つまり、それが画像:4になる。ここで、*はコンボリューションを表している。
　よくある信号処理の話で言えば、画像:2はインパルス応答である。といっても、これはごくごく単純な場合(線形シフトインバリアントとかいろいろ条件がある)の話である。まずはそういう簡単な場合から始めてみる。

　このようなごく単純な場合には

(式:2) 画像:3 = 画像:4 * (1/画像:2)

とすれば、画像:3を復元できることになる。

そこで、まずは単純な1次元データで考える。下の画像:5のようにボケる場合を考える。ここでは、ガウス分布にボケるようにしてある。

赤い線で表したパルスデータが水色で表した分布にボケる

画像:5

(式:1より) ボケ画像 = オリジナル画像 * ボケ具合
であったが、* すなわち、コンボリューションは
逆フーリエ変換(フーリエ変換(オリジナル画像) x フーリエ変換(ボケ具合))
と表すことができる。つまり、周波数領域で掛け算をすれば良いわけである。

左がボケ画像、右がその周波数領域(フーリエ変換)

画像:6

画像:7

　右のボケ画像の周波数表示を見れば低周波数の量が多いのがわかる。結局、このモデルではボケると低周波数を増やすことになる。逆に(式:2)では高周波数の量を増やすことに相当する。だから、Photoshopなどの「シャープ」というプラグインはラプラシアンを用いて、高周波を増やしてやることでボケ低減を行っている。それほど、不自然ではない。しかし、そう近い画像復元ができるわけでもない。

　それでは、試しに適当な1次元データをつくって、画像:6とコンボリューションをとってやり、ボケさせてみる。

左が原画像、右が画像:6と画像:8のコンボリューションをとったボケ画像

画像:8

画像:9

　画像:8のパルスデータは、画像:9ではボケてしまい、判別不能である。そこで、

逆フーリエ変換(フーリエ変換(画像:9) / フーリエ変換(画像:7))

= InverseFourier[Fourier[Image8] / Fourier[Image6]]; (*Mathematica*)

とやると、次のデータが得られる。

復元されたデータ

画像:10

　これがインバースフィルターによる画像復元の方法である。FIR(Finite InpulseResponse)フィルタなどだろう。ところで、

(式:2) 画像:3 = 画像:4 * (1/画像:2)

を見るとわかるが、画像:2が周波数領域で0になる点があったりすると、計算することができない。また、0に近いとむやみな高周波数の増幅が行われて使えない。

　そこで、この方法の修正として、ウィーナフィルターなどの最小平均自乗誤差フィルターがある。これにも多くの不自然な条件のもとに計算される(らしい)。しかし、infoseek辺りで探した限りでは、ウィーナフィルターを用いた画像復元の標準であるらしい。

この方法は先の逆変換に対して、次のように変形されたものである。Mathematicaの表記をそのまま貼り付けたのでわかりにくいかもしれない。

Noise ノイズのパワースペクトル
Signal 信号のパワースペクトル
Boke ボケる様子のインパルス応答
Conjugate 複素共役
BokeData ボケ画像
ResData1 計算した復元画像

Boke1 = (Boke^2 + Noise/Signal)/Conjugate[Boke]; (*Mathematica*)
ResData1 = InverseFourier[Fourier[BokeData] / Fourier[Boke1]]; (*Mathematica*)

である。Noise/SignalはS/N比の逆数であるから、SN比の大きいところではインバースフィルターに近づく。また、インバースフィルターの計算不能な点が消えている。

　これを使って復元してみたのが、次のデータである。

ウィーナフィルターを用いた復元

画像:11

　他にも、いろいろ変形っぽいものがあるが、とりあえず、1次元での練習はここまでにして、2次元で画像復元を行ってみる。

　まずは、ボケのフィルター(PSF=PointSpreadFunction(どのようにボケるかを示すもの)、2次元のインパルス応答)である。

ボケのフィルター(インパルス応答)

画像:12

　それでは、画像をボケさせる。右のボケ画像が全体的に暗いのは左とレンジが表示の違うからである。同じレンジにすると真っ白(真ん中辺りはちょっと灰色)になる。

左がオリジナル画像、右はボケた画像

画像:13

画像:14

　それでは、インバースフィルターを用いて画像を復元させてみる。

復元した画像

　うまく再現できている。今回はノイズも混入していないしPSF(PointSpreadFunction)もわかっているのだから、復元できて当然である。他の射影フィルタ、最大エントロピー・フィルタ、一般逆行列法、SVD法等については今回はまだ挑戦してみていない。
　その他線形の画像復元法をいくつか調べたが、ウィーナフィルターやインバースフィルターとほとんど同じような物が(素人目には)多かった。そこで、ウィーナフィルタなどとはやり方がかなり異なるものについて、いずれ挑戦してみたい。

　関係はないが、ウィナーと言えばサイバネティクスが思い浮かんでしまう。当然、ロゲルギストが連想されるわけだが、文庫本か何かで岩波版と中公版の「物理の散歩道」が安く売り出されないのだろうか？売れると思うんだけど。新書版は高すぎる。

　宇宙人はどこにいるか? そういった話は専門家に聞いて欲しい。わからないとは思うが。

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　さて、ここからは、1999.01.24に書いている。シンクロニシティとでも言うのか、今回の一週間後の1999.01.17に
日本テレビ系『特命リサーチ200X』で

地球外生命体は存在するのか？( http://www.ntv.co.jp/FERC/research/19990117/f0220.html )

という回があった。何とこの回のコメンテーターは先の専門家と同じなのだ。偶然とは面白いものだ。

■Photohoの落とし穴　

ノイズフィルタに要注意

　Phtoshopは大変巨大なソフトである。巨大すぎてよくわからないところも多い。巨大な割にはマニュアルは薄い。性能の割には安いと思うのだが、もう少し詳しいマニュアルも作って欲しい。Adobe(アドビでなくて)からなら入手できるのだろうが。

　今回はPhotoshopの「ノイズフィルタ」について考えてみたい。 ノスタルジックにしたい時など重宝するフィルタである。

Photoshopの「ノイズフィルタ」

図.1

　上のようにメニューからノイズフィルタを選ぶと、次のようなダイアログが出る。

ノイズフィルタのダイアログ

図.2

　まずは、第一の疑問がわく。分布方法の「均等に分布」、「ガウス分布」とは何だろうか？まずは、それぞれのノイズ画像を見てみる。
　まず、「均等に分布」のノイズを見てみる。

「均等に分布」のノイズ

図.3

　次に、「ガウス分布」のノイズである。

「ガウス分布」のノイズ

図.4

　一見した印象はさほど変わらない。それでは、ヒストグラムを見てみる。

図.5: 左が「均等に分布」、右が「ガウス分布」

　これならば、「均等に分布」、「ガウス分布」の意味がわかりそうである。左が-均等-であり、右が-ガウス-分布-であるというのは実感できる。

　両方とも、「ノイズの量」を55にしてある。左上の「均等に分布」の画像を見ると200から255までの間にノイズが-均等に分布-していることがわかる。ということは255 から ( 255-「ノイズの量」 ) までのレベルにノイズが-均等に-分布していることがわかる。ただし、「ノイズの量」の最大値は999であるから、さらに、何らかの処理が加えられているのだろう。
　同じように、「ガウス分布」の方もガウス分布の分散、中心値、ノイズ量を「ノイズの量」の数値に従い適当に導いているのだろう。大雑把にはわかった。

　今回は濃度の分布に対する考察はここまでにしておく。次は位置分布である。今回のメインはこちらである。
　まずは、下の図.3の拡大図を見て欲しい。

「均等に分布」のノイズ画像の部分拡大図

図.6

　妙に周期性が感じられないだろうか?　少なくとも私は感じる。これは気のせいなどではない、と思う。それは「ガウス分布」で同様である。
そこで、Photoshopのノイズフィルタの位置分布に何らかの周期性があるのかどうかを調べてみたい。

そこで、それぞれのノイズ画像をフーリエ変換し周波数領域に変換する。

左が「均等に分布」のノイズ、右が「ガウス分布」の周波数領域

「均等に分布」

「ガウス分布」

　すると、縦線が見える。つまり、どちらも横方向に周期性があることがわかる。またそれよりレベルは小さいが縦方向にも周期性がある。それぞれの分布で周期性は異なっている。
　横方向で一番レベルが大きいものは周期128ピクセルである。これはどちらの分布に関しても言えそうである。128とはいかにも納得できる数字である。
　縦方向は85ピクセル位か?100位のもあるな?　いずれ、より詳しい解析を行ってみたい。

　さて、以前PhotoShopの乱数Pluginを作ろう。----FilterFactory編---(1999.01.08)で作成したプラグインはこんな周期性を持っていないことを保証しておく。以下がその証拠である。

JRnd2Redで作成したノイズ画像とそのフーリエ変換

　こちらには、周期性はないのがわかると思う。

　今回の結論：Photoshopのノイズフィルタには要注意である。
　今回の教訓：何はともあれ疑ってかかれ。