1999-02-28[n年前へ]
■分数階微分の謎 
線形代数、分数階微分、シュレディンガー方程式の三題話
分数階微分？
InterLabの1999No.5を読んでいると面白い記事があった。いわき明星大学理工学部の榊原教授の「Waveletと数式処理ツール」という記事である。といっても、興味を持ったのはWaveletのことではない。もちろん、Waveletに興味がないわけではない。この榊原教授が講師を務めたWavelet講習にも参加したこともある。しかし、今回興味を惹かれたのはその記事中にあった「分数階微分の解析」である。InterLabの榊原教授の記事を引用すると、-通常微分・積分は整数回実行できるが、分数階微分はこれを分数に一般化したものである。さまざまな物理や工学の現象の記述に使われるようになった-とある。一階微分とか二階微分というものはよく使うが、0.5階微分などというものは使ったことがない。どのようなモノなのかさえよくわからない。
参考：
一体、どんな物理や工学の現象の記述に使われているのか知りたくなったので、infoseekで調べてみる。すると、いわき明星大学の清水・榊原研究室の「粘弾性動モデル」が引っ掛かる。
参考：
衝撃吸収・シリコーンの弾性率などに興味を持っている人には面白いかもしれない。もう少し調べてみると「バナッハ空間バナッハスケールにおける分数階積分作用素」というようなキーワードも引っ掛かる。
そこで、まずは勝手に分数階微分について考えてみた。
分数階微分・積分の勝手な想像図
まずは、イメージを考えるためにグラフを作成してみる。x^2の関数、および、それを微分・積分した関数である。微分は3階まで、積分は2階まで行っている。
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このグラフ形式の表示をちょっとだけ変えてみる。
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ここまでくると、平面グラフにしてみたくなる。つまり、微分・積分の階数を離散的な整数値でなく、連続的な値としてのイメージに変えたくなる。
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これで、微分・積分が整数階でない場合のイメージ(勝手な)ができた。微分・積分が離散的なものではなくスムーズにつながっているものであるというイメージである。図.2から図.3への変化をよく覚えていてほしい。
といっても、これは数学的なイメージのみで物理的なイメージはまだここでは持っていない。位置、速度、加速度などの微分・積分で選られるものに対して同じようなイメージを適用すると、位置なんだけれどちょっと加速度っぽいもの、とか、速度と加速度の「合いの子」みたいなものというような感じだろうか？
さらに、これから先は、f(x)という関数が示す無限個の値を位置ベクトルと考えて、f(x)というのは無限次元空間の一つの点だというイメージを持つことにする。線形代数を考えるならそれが一番わかりやすいだろう。任意の階で微分された関数群が集まって、さらに高次元の空間をなしているというイメージである。
分数階微分を調べる
勝手なイメージはここまでにして、手元にある数学の参考書の中から手がかりを探してみた。すると、大学院入試問題解説 - 理学・工学への数学の応用 - 梶原壌二 現代数学社ISBN4-7687-0190-6
の中に手がかりがあった。あれ、ということは以前にやったはずなのか...そう言えばおぼろげな記憶がちょっと...
その中の言葉を少し引くと、
フーリエ変換は等距離作用素である、関数空間L^2(R)における回転といえる。結局、
となる。そして、古典力学におけるハミルトン関数において、運動量を微分演算子で置き換えれば、量子力学や量子化学のハミルトン演算子が得られ、シュレディンガー方程式などにつながるのである、とある。他の資料を眺めてみると、どうやら量子力学などの分野からの要請に応じてここらへんの微分演算子の分野が発展しているようだ。理論物理などをやった方ならよくご存知のことだろう。例えば、水素原子の基底状態の波動関数へ運動エネルギーの演算子を作用させるというような、基本的な所でも、このフーリエ変換を用いた微分演算が用いられてる。ここで、fは元の関数であり、Fはフーリエ変換
さて、この式自体は非常に簡単である。それにイメージも湧きやすい。
i を掛ける演算、私のイメージでは複素数空間の中で90度回転をする(言い換えれば、位相が90度ずれる)演算、が微分・積分であるというイメージはスムーズに受け入れやすい(それが正しいかどうかは知らないが)。なぜなら、微分が空間の中での回転であるとすると、三角関数の微分・積分に関する性質(例えば、Sinを微分するとCosに、Sinを2階微分すると-Sinになる、すなわち、一回の微分につき位相が90°ずつ回転する(位相がずれる)というような性質)が納得でき、それがフーリエ変換という形で登場してくることがスムーズに受け入れられるのである。また、微分といえばとりあえず三角関数の登場というイメージもある。
もう少しわかりやすく書くと、
- 三角関数では一階微分の結果は90度位相がずれる(回転する)。
- ならば、(例えば)0.5階微分は45度位相をずらせば良い。
- 任意の関数もフーリエ変換により、三角関数に分解される。
- ならば、任意の関数に任意の実数値の微分が成立する。
任意の関数をフーリエ変換し三角関数に分解した時の位相、言い換えれば、周波数領域での位相ずらし、で分数階微分が定義されるということは、物理的実用的に大きな意味を持つ。例えば、電磁波、弾塑性運動などの物理現象の中での位相変化を分数階微分で解けることになる。例えば、複素貯蔵弾性率などについて分数階微分との関係は深そうである。あるいは、媒体中の電磁波の位相などについて適用するのも面白そうである。
分数階微分を使ってみる
よく分からないところも多いが、とりあえず、
という式を使ってみる。まずは、使ってみないとわからない。とりあえず、1次元の関数を作成して、この式を適用してみる。まずは、よく出てくるガウス分布で適用してみる。まずはガウス分布とそれの通常の一階微分の解析解を求める。
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それでは、今回の方法による一階微分の結果と、それと解析解との比較を示す。なお、本来無限領域のフーリエ変換を有限の領域で行っているため、端部近くで変なことが生じるのはしかたがないだろう。また、色々な事情により係数の違いは無視して欲しい。
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ちょっとずれが生じているが、こんなものだろう。しかし、これだけでは今回のフーリエ変換を用いた微分の面白さはでてこないので、0から2の範囲で連続的に分数階微分をしてみる。
 1/10 (=0.1)階微分 |  1/2 (=0.5)階微分 |  7/10 (=0.7)階微分 |  1階微分 |
 13/10 (=1.3)階微分 |  15/10 (=1.5)階微分 |  17/10 (=1.7)階微分 |  2階微分 |
モーフィングのようで面白い。
さて、今回は分数階微分を勉強してみる所までで、これの応用は別に行ってみたい。もちろん、言うまでもないと思うが、間違いは多々あると思う。いや、田舎に住んでいるもので資料がないんですよ。
2008-04-25[n年前へ]
■「"複雑極まりない"複素平面」上に「仕事」と「趣味」を描く
複素平面"complex plane"は、複素数"complex number"の実部をx軸(実軸=real axis)・虚部をy軸(虚軸 = imaginary axis)にプロットしたものである。3+2iという複素数であればxy平面にx=3,y=2にを示す、そんな平面が複素平面だ（iは虚数単位=2乗した時に-1になる数である）。
『「仕事」と「趣味」を2次元マップで1分以内に描け』言われたら、あなたならどう描くだろう？(同世代の)"Schemeを愛するプログラマ"が描いた「趣味と仕事の関係を描いた2次元チャート」を眺め、ふと私も「仕事」と「趣味」のイメージを2次元マップに描いてみたくなった。
趣味を訊かれるといつもちょっと困る。私には趣味と仕事の違いがよくわからないからだ。
Shiro Kawai
人によって「仕事」と「趣味」というものの捉え方は違うだろうけれども、できる限り一般的に「仕事」と「趣味」という領域を2つの軸上に配置させるとしたら、どのように「仕事」と「趣味」を描くだろう？そんなことを「クイズの回答者になった気分で」描いてみたら、それは「複素平面」だった。(その人自身に対する)実利的・物質的でまさにリアルな"Real axis"と、イメージ的な「心の軸」を示す"Imaginary axis"というまさに実軸・虚軸で表現された複素平面である。
この複素平面の縦軸(の上方向)は、自分の心を豊かにする軸と捉えることができるだろう。「虚」という文字よりは、"Imaginary"という文字で捉えたい「(その人自身の)心の満足」を示す軸、である。
そして、横軸（の右方向）は、その人自身を実利的に満足させる軸である。しかし、その自分への「実利」という軸は、実は他人が何らかの形で価値を感じたことを示す軸でもあると思う。なぜなら、その「実利」は「他者が得た価値」が回りまわって流れてきたものに違いないからである。他人が得た満足が姿を変えたものであるから、である。つまり、この複素平面の横軸は「自分への実利」を示す軸であると同時に「他者を豊かにする軸」なのである。
ひとことでまとめてしまえば、この複素平面は「本人(自分)の満足」と「他人の満足」という２つの軸で形作られる平面なのだ。
'Cause we are living in a material world. You know that we are living in a material world.
Madonna "Material Girl"
その人ごとに「仕事」と「趣味」の位置づけがあると思う。どんな軸を使って、どんな風に「仕事」と「趣味」を捉えるかは、みなそれぞれ違うはずだ、と思う。「自分の中で辛さを感じながら、実利を得る仕事」もあれば（右下の象限）、「自分自身の楽しさとともに実利を得る仕事」もあるはずだ（右上の象限）。そして、さらに言うならば、同じ仕事であったとしても、その仕事がどこに位置するかは、人それぞれ異なっているだろう、と思う。そして、同じ一人の人がする同じ仕事であったとしても、きっと「その捉え方」「その座標」は変化し・移動していくものだろう、と信じている。
俳諧で「虚実」ということがしばしば論ぜられる。数学で、実数と虚数とをXとYとの軸にとって二次元の量の世界を組み立てる。虚数だけでも、実数だけでも、現わされるものはただ「線」の世界である。二つを結ぶ事によって、始めて無限な「面」の世界が広がる。
寺田寅彦 「無題六十四」
もしも、上に描いた複素平面="Complex plane"、それを言い換えれば言葉通りの「複雑極まりない世界」の上に、今のあなたが抱えているだろう「仕事」と、あなたが楽しんでいるかもしれない「趣味」は、どんなXY座標上にプロットされるだろうか。"複雑極まりない"複素平面上に、あなたはどんな軌跡を描いているだろうか。
2011-06-12[n年前へ]
■虚実の谷間にさまようのは「男心のコンプレックス」
グラビアアイドルの谷間の向こうを眺めれば、実の世界と虚の世界、そして、それらが複雑に混じり合う複雑怪奇な複素平面が見えてくる。その巨乳ならぬ虚乳の谷間、虚実の谷間にさまようのは「男心のコンプレックス」虚実の谷間にさまようのは「男心のコンプレックス」という的確な言葉。
RealとImaginaryの谷間で、男心のビジョンは常にComplexを抱えて、虚実の世界に揺れ動く。
明治から昭和の始めに生きた寺田寅彦も、もしかしたら、そんな男心の「コンプレックス」にさいなまされていたのだろうか…。
俳諧で「虚実」ということがしばしば論ぜられる。数学で、実数と虚数とをXとYとの軸にとって二次元の量の世界を組み立てる。虚数だけでも、実数だけでも、現わされるものはただ「線」の世界である。二つを結ぶ事によって、始めて無限な「面」の世界が広がる。
寺田寅彦 「無題六十四」
2012-04-17[n年前へ]
■百次方程式の係数を複素平面上で動かして、百個の解のダンスを眺め・楽しんでみよう!?
多項式からなる代数方程式の「係数」をマウスでつかんで動かした時に、「（その代数方程式の）”解たち”の配置」と「”解たち”が動き回るようす」を眺めたいな…と思ったのですが、ググってみると「x^n + b x + 1 = 0 おいう代数方程式の係数bを複素平面上で動かした時に”解たち”がどのような配置になるか・どのように動き回るか」をインタラクティブに味わえる・楽しむことができる（Monodromy of z^n + b z + 1 = 0）というものがありました。
そこで、”x^n + b x + 1 = 0”という二次から百次までの代数方程式で、係数”ｂ”を複素平面上で（マウスで）動かして（青丸）、（その動きに応じて）解の集団（赤丸）が形作る美しいダンスを眺め・楽しんでみました。
中学生くらいの頃、"X^2+2=0"といった方程式を（各々の軸が実数の）XY平面上で黒板の上で眺めつつ、その黒板上に描かれたXY平面には、"Y＝X^2+2"というグラフと"Y=0"というグラフが「どこでも交わっていない」ようにしか見えないのに、方程式の「答え」は「（どこかに）２つの解がある」というもので…それは理不尽で不思議で…つまりは納得できなかったような気がします。
あの頃、複素平面上に複素数値を描いたグラフを見ていたら、黒板の上で多項式の解が複素平面上で円を描いてフォーク・ダンスを踊る風景を眺めていたら…数学に恋をしていたかもしれない、と思います。
オクラホマ・ミクサーやマイムマイム…黒板の上の複素平面上で代数方程式の係数が動くにつれ、その方程式の解の群団が踊るフォークダンス…が今日見た景色、です。
」など。