1999-02-28[n年前へ]
■分数階微分に基づく画像特性を考えてみたい 
同じ年齢でも大違い
前回、分数階微分の謎 - 線形代数、分数階微分、シュレディンガー方程式の三題話- で分数階微分について調べた。例えば、0.7階微分といった、整数階でない微分である。今回はそれを使った応用を考えてみたい。
人間の視覚というものは明るいものは強く感じることができる。これは当たり前である。そして、それだけでなく、強さが変化している所にも(興味を)強く感じ取るようになっている。岡本安春氏の「Delphiでエンジョイプログラミング」によれば、そのような考えはLaming(1986)がdifferential coupling(差動結合)として発表しているらしい。
ということは、人間が画像を感じる特性というものは、画像強度と画像強度変化(画像強度の一階微分)の中間的なものであると言うことができるかもしれない。とすれば、分数階微分を導入すれば面白い表現ができるかもしれない。
今回は、そういう考えのもとに分数階微分を用いて人間の画像特性について考えてみたい。
まずは、元画像を示す。元画像はガウス分布に基づいて作成されたものである。
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まずは、左の元画像を見て欲しい。どこに強い感じを受けるだろうか？白い部分はもちろんであるが、白と黒の境界部にも強い感じを受けるだろう。ギザギザになっているのはデータが少ないからなので、無視して欲しい。というわけで、人間の視覚画像特性は
- 画像強度
- 画像強度変化(画像強度の一階微分)
元画像 | |
 1/2階微分画像 |  |
 15/20階微分画像 |  |
 1階微分画像 |  |
白地に黒画像バージョンも示しておく。紙の上の画像に慣れた人にはこちらの方が良いだろう。
 元画像 |
 1/2階微分画像 |
 15/20階微分画像 |
 1階微分画像 |
なお、今回の画像の作成は次のような手順で行っている。
- 1次元のガウス分布を作成する。
- 微分値が正であるような半分の領域を線対称に回転させ、2次元画像を作成する。
今回は
- 画像強度
- 画像強度変化(画像強度の一階微分)
- 電位
- 電界(電位の微分、といっても本来は電位が電界の積分か)
- 人口密度
- 人口密度変化(人口密度の微分)
さて、分数階微分を調べる中で、バナッハ空間についても調べた。調べ始めた時には、聞き覚えもなかったが、調べてみるとヒルベルト空間の導入で登場していた。きれいさっぱり忘れていたようである。
京大数学教室 徳永健一氏のWEB (http://www.kusm.kyoto-u.ac.jp/~kenichi/)
から辿れる「「年齢の本」数学者版」によれば
バナッハがバナッハ空間を提唱したのは30歳の時であるらしい。(http://www.kusm.kyoto-u.ac.jp/~kenichi/age/30.html)
うーん...
1999-06-10[n年前へ]
■コピー機と微分演算子
電子写真プロセスを分数階微分で解いてみよう
前回、
ゼロックス写真とセンチメンタルな写真- コピー機による画像表現について考える - (99.06.06)
の中で、電子写真プロセスは「画像のエッジ部分が黒くなり、そうでないソリッド部分は画像が飛びやすい... 画像のエッジ部分、すなわち、電位変化が大きく、電界強度の高い部分に対してトナーが現像されやすい... 」という文章がある。この脈絡は何か見覚えがないだろうか？そう、
分数階微分に基づく画像特性を考えてみたい-同じ年齢でも大違い-(1999.02.28)
の中の、「人間が画像を感じる特性というものは、画像強度と画像強度変化(画像強度の一階微分)の中間的なものであると言うことができるかもしれない。」という文脈と似ている。また、「ゼロックス...」の回での(昔の)電子写真の特徴、
- エッジ強調される。
- 細かいところはボケてしまう。
参考までに、以前の話のときに用いた画像を示しておく。
まずは、
ゼロックス写真とセンチメンタルな写真- コピー機による画像表現について考える - (99.06.06)
における(昔の)モノクロコピーを模したものである。
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分数階微分に基づく画像特性を考えてみたい-同じ年齢でも大違い-(1999.02.28)
の際に解析した元画像と0.75階画像である。ただし、この解析は2次元解析ではなく、1次元における計算を回転させて、中心対称な画像を作成している。その理由は前回述べたので今回は述べない。
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それでは、解析を始める。まずは、Photoshop5による「(昔の)コピー機シミュレーション」である
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次が、分数階微分画像だ。今回もMathematicaを用いて計算している。検算が終了したら、Notebookも公開予定だ(実は検算が終了していないのだ...)。
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胸を張って「似ている」と断言するつもりはないが、少しは似ているのではないだろうか。別に似るまでがんばっても良いのだが、この分野の話はあまりやりすぎるわけにはいかないのである。ということで、強引ではあるが、今回の話の結論は「アナログコピーはオリジナルコピーの0.75階微分だ」というところで終わらせてもらう。
今回は、コピー機によるコピーを微分演算子と結びつけてみたわけだが、複数回のコピーに適用してみると面白いだろう。例えば、孫コピーは0.75+0.75階微分=1.5階微分であるとかだ。
また、同じ現像プロセスといっても色々あるわけであるから、各現像方式により微分演算子の階は異なるのが適当だろう。例えば、この機械は0.8階微分(つまりほとんどエッジ現像)であるが、こちらの機種は0.05階微分(極めて元画像に近い)で再現性に優れる、などという論議もできるかもしれない。
ところで、某所で今回の話と似て非なる話がCoffeeBreakとして公開されている。しかし、そちらは一般公開されていない。というわけで、今回は分数階微分の第3話ではなく、第4話ということになる。STARWARS風に言えば、Episode4だ。STAR WARSのようなSF映画もそうであるが、こういった話は生物(なまもの)である。ずっと置いておくと腐ってしまう。「腐ってこそ美味い食べ物もある」、という反論も聞こえてきそうだが、そういったものは少数の例外である。味オンチの料理人の作ったものではあるが、どうか賞味期間内に味わって頂きたい。
1999-06-28[n年前へ]
■風呂場の水滴を考える。
オールヌードの研究員
風呂場の天井から浴槽めがけて、水滴がしたたって音がしているのはよくある風景である。ピーンという(もちろん人によっても印象は違うのだろうが)気持ちのいい音がしている。似たようなものとしては、水琴窟などもある。この音がなぜ鳴るかは、ロゲルギストの「物理の散歩道」に詳しい考察がある。それによれば、水滴が一粒落ちたように見えても、実は何粒かに別れており、ちょうどカルガモの親子のようになっているという。つまり、大きな親の水滴の一粒の後を、何粒かの小さな子どもの水滴が追いかけているという具合である。まず、水滴の親が水面に空洞をつくり、その中に子どもの水滴が飛び込むことにより音が出るという。結局、水滴の音を作っているのは、その子どもの水滴の方だという。「物理の散歩道」の中では、針をつたって水滴を落とせば、子どもの水滴ができないという。
風呂に入って、濡らした手から水滴を落としてみる。指の爪の先から水滴を落とすと音はほとんどしないが、指の「はら」から落とすと派手に音がする。ぜひ、自分でも確かめていただきたい。
爪先は比較的尖っているので、落ちる水滴は一粒だが、比較的平らな指の「はら」からの場合には、カルガモ親子のような水滴が落ちているせいだろう。
なぜ、このような違いが生じるかを推測してみたい。まずは、下の絵を見て欲しい。
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上の上手な絵が言いたいのは、次のような推測である。
- 平らな表面から水滴が落ちる際には、長く伸びた水のブリッジが出来ていて、1つぶ目の水滴が落ちた後も、このブリッジ部分が「カルガモの子ども」のように小さな水滴となって後を追いかけていくのではないか。
- それに対して、尖った表面から水滴が落ちる際には、先のブリッジ部分のほとんどは水でないため、後続の水滴は発生しない。
計算モデルとしてどのようなものを使うかであるが、私の知っている範囲では大きく分けて2種類のやり方がある。
- 流体をモデル計算する。すなわち、Navier-Stokesの方程式を解く。
- 流体を粒子のようなものの連続体として解く(ex.格子ボルツマン法)
電気通信大学情報工学科情報数理工学講座渡辺研究室( http://assam.im.uec.ac.jp/fluid.html )
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また、水滴が水面に衝突する状態の計算は、電気通信大学情報工学科情報数理工学講座渡辺研究室にもあるし、他にもNaSt2DというFreeの2次元Navier-Stokes方程式のソルバーを用いて行われた計算結果が
http://www5.informatik.tu-muenchen.de/forschung/visualisierung/praktikum.html
にある。
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Michael Griebel氏らによるNast2Dのコードは公開されているので、その中身をいじりながら、計算を行う予定である。
とりあえず、今回はバックグラウンドを紹介する所までで、次回(といってもすぐではないだろう)に計算の本番に入りたい。
手のひらの実験から考えると、風呂場で水滴の音が聞こえるのは天井が平らなせいだということになる。ならば、鍾乳石のようなつらら形状の天井の風呂場では音がしないのだろうか？しかし、水滴は空気中で落下していく最中には空気の抵抗をうける。そのため、大きな水滴は落ちる最中に分裂し、複数の水滴になってしまう。
となると、
- 落ちる水滴の最初の大きさは、どう決まっているのか。
- 水滴は落下するスピード、水滴の大きさがどの程度になると分裂するのか？
ところで、インクジェット方式のカラープリンターも液滴で画像を描くのだから、液滴の様子は重要な筈である。液滴が飛び散ってしまっては困るし、位置がずれても困る。各社ともカルガモの子ども水滴をなくすために色々工夫をこらしている筈だ。
実は風呂場の水滴問題は重要で、奥が深いのだ。オールヌードで私は考えるのであった。
1999-12-21[n年前へ]
■恋の力学
恋の無限摂動
クリスマスが近くなると、街のイルミネーションが綺麗に輝き始める。いかにも、ラブストーリーが似合う季節である。そこで、今回は、"Powerof love"、すなわち、「恋の力」について考えてみたいと思う。「恋の力」により、人がどのような力を受け、人がどう束縛されるのか、などについて考えみたいのである。また、恋に落ちたカップルがどのような行動をするのかについて解析を行ってみたい。
「できるかな?」では以前、
において、カップルが他のカップルを意識する力について考えたことがある。カップル同士の間に働く斥力を考えることにより、鴨川カップルの行動を考えてみた。それと同様に、今回はひとつのカップルのみを考え、その中に働く力を考えてみるのである。ひとつのカップルの「男」と「女」の間にどのような力が働くかを考えるのである。そういうわけで、今回の登場人物は「男」と「女」である。その二人は「恋に落ちた二人」である。二人の間には「恋の力」が働いているのだ。その二人の間に働く「恋の力」について考察することにより、恋に落ちたカップルの行動について考察を行ってみることにする。
といっても、「恋の力」を精密に測定した報告例は未だ存在しないので、ここでは適当な値を用いていくことにする。「恋は距離に負けない」とか「遠くて近きは男女の仲」などとははよく言われる。そこで、距離によらないと近似した。また、「遠くて近きは男女の仲」の意味を考えれば、恋の力は無限遠まで働く力である、と考えるのが自然である。
そこで、今回の「恋の力」は距離に関わらず一定であると仮定した。距離=rとした時に-r/Abs[r]の大きさで「相手に惹かれる」ものとした。仮に第一種「恋の力」(仮称)とでもしておく。
今回は「恋の力」は距離によらないものとした。しかし実際は、(通所の距離においては)「男」と「女」は距離が近いほど惹かれ合うし、離れてしまうと惹かれ合う力は弱くなるというのが自然であると思われる。そこで今回の第一種「恋の力」(仮称)は、あくまで大雑把な近似ということにしておく。
恋する二人の間に働く力をもう少し正確に記述しておくと、
- 「恋の力」 = - 「相手の魅力」 * 「二人の間の距離ベクトル」 / 「二人の間の距離スカラー」
- 「恋の力」=優柔不断度 * 「恋の加速度」
であることだ。心がトキメいてもなかなか行動を起こすことが出来ない人がいるだろう。そういう人は「優柔不断度」が高いというわけである。恋の行動における慣性を示すパラメータである。
また、今回は空間を1次元であると簡略化してみた。1次元の空間の中で「男」と「女」が動き回るのである。その時間的変化を調べてみるのだ。従って、シミュレーション結果は空間軸が一次元+時間軸一次元で、合わせて2次元となる。
さて、この「恋の運動方程式」を解くことにより、恋する二人の行動は予測することが可能となるわけだ。試しに、その計算サンプルを示してみる。なお、今回は時間方向で数値的に逐次解を求めている。
初期状態は
- 「男」位置=5, 速度=0,魅力=100,優柔不断度=10
- 「女」位置=0, 速度=0,魅力=100,優柔不断度=10
位置や時間の単位は任意単位である。「0」と「5」は東京と大阪であっても良いし、ロンドンとニューヨークであっても良い。あるいは、実空間でなく精神的な空間と考えてもらっても構わない。すなわち、心の動きを示しているものとするのである。
また、二人の「魅力」や「優柔不断度」は対等である場合だ。その結果を下に示す。このグラフは縦軸が空間位置であり、横軸が時間である。黒線が「男」であり、赤線が「女」である。
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「男」と「女」が同じように相手の方向へ向かっているのがわかると思う。これが「恋の無限摂動」である。こういった「恋の無限摂動」の代表的なものには「君の名は」の主人公達の動きなどがある。恋に落ちた二人が、延々とすれ違いを続ける物語である。これは、この「男」と「女」の行動そのものである。
この計算結果では「男」と「女」が糸を紡いでいるようにうまく絡みあっているのがわかる。「恋の無限摂動」の幸せなパターン例である。これは、「男」と「女」が対等であったことがその一因である。
その証拠に、「男」と「女」が対等でない場合の計算結果を示してみる。次に示すのは、
- 「男」位置=5, 速度=0,魅力=10,優柔不断度=10
- 「女」位置=0, 速度=0,魅力=100,優柔不断度=10
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「男」が右往左往するのに対して、「女」はほとんど動いていないのがわかると思う。おそらく、この場合には「男」と「女」の「心」もこれと同様のパターンを示しているものと思われる。すなわち、「男」の「心」は揺れ動いているのに対し、「女」の「心」はほとんど動いていないのである。
先の例と異なり、これは実に不幸な計算例である。不幸ではあるが実際によくある例であると思う。以降、これを「男はつらいよ」パターンと呼ぶことにする。「女」に「男」が振り回されているパターンだ。もし、奇跡的に結婚などしても、将来どうなるかは火を見るより明らかである。
それでは、「男」と「女」の「魅力」が同等で、かつ、とてもスゴイ場合を示してみる。すなわち、ドラマの主人公達のようにとてつもなく魅力的な二人が恋に落ちた場合である。一般人とは違う二人が恋に落ちたら、果たしてどのような行動を示すのであろうか?この場合のパラメータは以下に示す、
- 「男」位置=5, 速度=0,魅力=1000,優柔不断度=10
- 「女」位置=0, 速度=0,魅力=1000,優柔不断度=10
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「魅力ある二人が恋に落ちた場合には、あまり近づかない方が良い」という教訓をここから得ることができる。
最後に、「男」と「女」の二人ともにあまり魅力がない場合である。パラメータとしては、
- 「男」位置=5, 速度=0,魅力=2,優柔不断度=10
- 「女」位置=0, 速度=0,魅力=2,優柔不断度=10
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これなど「恋」と言えるのかどうかもわからない位である。ほとんど、「ただすれ違っただけの相手」である。これがさらに進むと、魅力がお互いに0同士のパターン、
- 「男」位置=5, 速度=0,魅力=0,優柔不断度=10
- 「女」位置=0, 速度=0,魅力=0,優柔不断度=10
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これっぽっちも「男」と「女」は「恋」に落ちていないのである。これではカップルの「男」と「女」ではなく、単なる他人である。
さて、今回は行わなかったが、カップルに「恋のエネルギー損失」を導入することにより、「恋の無限摂動」を減衰させることができる。それにより、現実のカップルの行動にさらに近づくことができるのではないかと、私は考える。何らかの抵抗が生じることにより、「恋の無限摂動」が減衰するのだ。そして、二人は接近した状態で停止するわけだ。
さて、今回の登場人物は「男」と「女」だけであった。しかし、現実でも、ドラマの中でも、通常は多くの登場人物が登場する。登場人物が「男」と「女」だけというような理想的な条件のみではない。
人の恋路を邪魔する(主人公からすれば)ヤツも必ず登場する。また、特定の登場人物の間では斥力が働くだろう。そのような場合、一体どのような現象が生じるのだろうか。
そもそも、今回の恋する二人の行動パターンは予測可能であったが、現実そのようなことがあるだろうか？果たして、未来の行動パターンは予測可能なのだろうか？色々な登場人物が現れる場合にも、今回の結論は成立するのだろうか？
それらは次回の課題にしておく。題して、「恋の力学 三角関係編- 恋の三体問題- (仮称)」である。「恋の力」を一般化し、多体問題として解いてみたいのである。恋する人達とその周りの人達がどのような行動をするか、恋の三角関係においてどのような力が働いているのか、について解析を行ってみたい。今回は、そのための前準備というわけである。
2000-02-19[n年前へ]
■携帯電話の同時性？
競馬の写真判定とパノラマ写真 その後
先日
を書いてから面白いメールを頂いた。その一部を抜粋すると、小生は超音波を利用した新しい流体場測定を行っていますが、この方法で得られるDataは空間1次元時間1次元の2次元データです。従って得られるのは、このページにあったような画像が直接得られるわけです。とある。この方法といくつかの結果を発表してから、あちこちからコンタクトがありましたが、その中の一つが、NYのSirovichという高名な流体力学者からの手紙でした。彼はいわゆるSnapShotを、逆に小生のデータから構築できないか、というのです。
今このWebでされたことの逆をしたいというわけです。流れの空間構造を解析するために使いたいのです。残念ながらこれは、以下に少々説明するように、原理的に無理な話で断らざるをえませんでした。
つまり、時間軸に速度をかけて空間軸に変換できればよいのですが、流体場はそれ自身が速度分布を持っていますから、一体何を使えば良いのかが定まらない。
電磁波の場合には光速が一定ですから、時間情報から空間情報を得ることができますが、古典流体力学では不可能なのです。工学的には平均流速を使って、時間-空間の変換をしますが、それはインチキとまでは言わないまでも、便宜的なも
のでしかありません。このWEBの中での例では、馬？の速度のみであとは静止しているので、可能でし
ょう。
「馬？」という箇所に、私との意見の相違があるようだ。私が明らかに「馬」であると言い張っているものに疑問を持たれているような気がするのであるが、今回そこは気にしないでおく。
なるほど、音波や電磁波などを使って計測を行い、得られた
- 空間(あるいは量)-時間
- 空間(あるいは量)-空間
- 海の中の魚を探知する「魚群探知機」
- 気象状況を計測する「気象レーダー」
- 固体の中の電荷分布を計測する「電荷分布測定装置」
「魚群探知機」は超音波を水中に発信して、その反射波が刻々と帰ってくる様子から、(超音波の速度を用いて、空間位置に変換した後に)障害物(ここでは魚群)の様子を計測するものである。「気象レーダー」も電波を使って同様に雲の分布などを測定する。
「電荷分布測定装置」の場合は、(例えば外部電界を印加し)電荷を持つ個所を振動させてやり、その振動がセンサー部に刻々と伝わってくる様子から(あぁ、なんて大雑把な説明なんだ)、(固体中の弾性波の速度を用いて、空間位置に変換した後に)固体の中にどのように電荷分布が存在しているかを計測するものである。
と、文章だけでは何なので、WEB上から、それらの計測器を用いた場合の計測例を示してみる。
下が魚群探知機である。リンク先は
である。 |
また、この下は空間電荷測定装置である。これなども、とても面白いものだ。リンク先は
である。 |
さて、こういうことを、調べてみるだけではしょうがない。自分でもそういう計測をしてみたい。
そこで、次のような実験をしてみようとした。
- 部屋の中に複数の「音の発信源」を配置する。
- 複数の「音の発信源」から同時に音を発する。
- それをPCで収録する。
- 音声が「音の発信源」からPCに到達するまでの時間を解析する
- 複数の「音の発信源」の位置を計測する。
そこで、安易にも時報を使おうかと考えてしまった。しかも、数があって手軽ということで、携帯電話を使おうとしたのである。
しかし、複数の携帯電話を集めて、117に電話して時報を同時に聞いてみると、とても同時どころではない。てんでばらばらなのである。電話のスピーカーから流れてくる時報のタイミングには結構ズレがあるのである。
携帯電話の間には結構同時性がないのだ。また、固定電話とも比較したが、固定電話よりも時報が速いものもあれば、遅いものもあった。
そこで、複数の携帯電話を聞き比べた結果を以下に示してみたい。この写真中で左の携帯電話ほど時報が先に流れており、右になるほど時報が遅れているのである。一番早い左と、一番遅い右では一秒弱の違いがあった。
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また、参考までに、家の固定電話と携帯電話の時報を一緒に聞いたサウンドファイルを示しておく。
この携帯電話は先に示した画像の一番左である。つまり、先の携帯電話群では一番時報が早かったものなのである。しかし、家の電話よりは一秒弱遅かった。ということは、家の固定電話と先の一番遅い携帯電話では時報の時間にして２秒弱の違いがあることになる。 そして、「家の固定電話と携帯電話の時報を一緒に聞いた音の変化」をスペクトログラムにしたものを以下に示す。
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水平軸が時間軸であり、時間は左から右へ流れている。また、縦軸は音の周波数を示している。ここでは、「１」で示したのが家の固定電話の時報であり、少し遅れて「２」の携帯電話の時報が聞こえているのが見てとれる。
よく時報を確認することはあるが(実は私はほとんどないのだが...)、携帯電話・PHSで時報を聞く限り、秒の精度はそれほどないようである。また、勤務先の固定電話は先の携帯電話群と比べても遅い方であった。それは少し意外な結果であった。
今回調べた「携帯電話の同時性のなさは」は常識なのかもしれないが、電話の時報で時計を合わせるのはあまり精度が出ないやり方であることがわかっただけでもよしとしよう(別に実験を途中で投げ出した言い訳ではないけれど)。
今度、TV(衛星TVなども遅延時間を考慮した時報の放送を行っていると聞くし)やラジオを用いて当初計画していた実験を行おうと思う。その際には、時報がPCに到達する時間のズレで「音の発信源」までの距離を計測し、左右のマイクでの違いを計測することにより、「立体音感シリーズ」のように「音の方向」を得てみたい。
というわけで、話が「立体音感シリーズ」に繋がったところで、今回は終わりにしようと思う。
」など。