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■分数階微分の謎　

線形代数、分数階微分、シュレディンガー方程式の三題話

分数階微分？

InterLabの榊原教授の記事を引用すると、-通常微分・積分は整数回実行できるが、分数階微分はこれを分数に一般化したものである。さまざまな物理や工学の現象の記述に使われるようになった-とある。一階微分とか二階微分というものはよく使うが、0.5階微分などというものは使ったことがない。どのようなモノなのかさえよくわからない。

参考：

• InterLab (http://www.inter-lab.gr.jp/)

いわき明星大学の清水・榊原研究室の「粘弾性動モデル」が引っ掛かる。

参考：

• いわき明星大学清水研究室 (http://www.iwakimu.ac.jp/lab/nshimlab/siricon.html)

もう少し調べてみると「バナッハ空間バナッハスケールにおける分数階積分作用素」というようなキーワードも引っ掛かる。

そこで、まずは勝手に分数階微分について考えてみた。

分数階微分・積分の勝手な想像図

まずは、イメージを考えるためにグラフを作成してみる。x^2の関数、および、それを微分・積分した関数である。微分は3階まで、積分は2階まで行っている。

図.1:x^2を微分(3階まで)したものと、2階まで積分したもの

このグラフ形式の表示をちょっとだけ変えてみる。

図.2:x^2を微分(3階まで)したものと、2階まで積分したもの

ここまでくると、平面グラフにしてみたくなる。つまり、微分・積分の階数を離散的な整数値でなく、連続的な値としてのイメージに変えたくなる。

図.3:x^2を微分(3階まで)したものと、2階まで積分したもの

これで、微分・積分が整数階でない場合のイメージ(勝手な)ができた。微分・積分が離散的なものではなくスムーズにつながっているものであるというイメージである。図.2から図.3への変化をよく覚えていてほしい。

といっても、これは数学的なイメージのみで物理的なイメージはまだここでは持っていない。位置、速度、加速度などの微分・積分で選られるものに対して同じようなイメージを適用すると、位置なんだけれどちょっと加速度っぽいもの、とか、速度と加速度の「合いの子」みたいなものというような感じだろうか？

さらに、これから先は、f(x)という関数が示す無限個の値を位置ベクトルと考えて、f(x)というのは無限次元空間の一つの点だというイメージを持つことにする。線形代数を考えるならそれが一番わかりやすいだろう。任意の階で微分された関数群が集まって、さらに高次元の空間をなしているというイメージである。

分数階微分を調べる

その中の言葉を少し引くと、
フーリエ変換は等距離作用素である、関数空間L^2(R)における回転といえる。結局、

ここで、fは元の関数であり、Fはフーリエ変換

さて、この式自体は非常に簡単である。それにイメージも湧きやすい。
i を掛ける演算、私のイメージでは複素数空間の中で90度回転をする(言い換えれば、位相が90度ずれる)演算、が微分・積分であるというイメージはスムーズに受け入れやすい(それが正しいかどうかは知らないが)。なぜなら、微分が空間の中での回転であるとすると、三角関数の微分・積分に関する性質(例えば、Sinを微分するとCosに、Sinを2階微分すると-Sinになる、すなわち、一回の微分につき位相が90°ずつ回転する(位相がずれる)というような性質)が納得でき、それがフーリエ変換という形で登場してくることがスムーズに受け入れられるのである。また、微分といえばとりあえず三角関数の登場というイメージもある。

　もう少しわかりやすく書くと、

• 三角関数では一階微分の結果は90度位相がずれる(回転する)。
• ならば、(例えば)0.5階微分は45度位相をずらせば良い。
• 任意の関数もフーリエ変換により、三角関数に分解される。
• ならば、任意の関数に任意の実数値の微分が成立する。

　任意の関数をフーリエ変換し三角関数に分解した時の位相、言い換えれば、周波数領域での位相ずらし、で分数階微分が定義されるということは、物理的実用的に大きな意味を持つ。例えば、電磁波、弾塑性運動などの物理現象の中での位相変化を分数階微分で解けることになる。例えば、複素貯蔵弾性率などについて分数階微分との関係は深そうである。あるいは、媒体中の電磁波の位相などについて適用するのも面白そうである。

分数階微分を使ってみる

よく分からないところも多いが、とりあえず、

ガウス分布(左)とその一階微分の解析解(右)

それでは、今回の方法による一階微分の結果と、それと解析解との比較を示す。なお、本来無限領域のフーリエ変換を有限の領域で行っているため、端部近くで変なことが生じるのはしかたがないだろう。また、色々な事情により係数の違いは無視して欲しい。

フーリエ変換を用いた方法(左)と解析解(右)の比較

ちょっとずれが生じているが、こんなものだろう。しかし、これだけでは今回のフーリエ変換を用いた微分の面白さはでてこないので、0から2の範囲で連続的に分数階微分をしてみる。

ガウス分布の0から2の範囲における連続的な分数階微分

1/10 (=0.1)階微分	1/2 (=0.5)階微分	7/10 (=0.7)階微分	1階微分
13/10 (=1.3)階微分	15/10 (=1.5)階微分	17/10 (=1.7)階微分	2階微分

モーフィングのようで面白い。

さて、今回は分数階微分を勉強してみる所までで、これの応用は別に行ってみたい。もちろん、言うまでもないと思うが、間違いは多々あると思う。いや、田舎に住んでいるもので資料がないんですよ。

■母に捧げるバラード　

宿題は自分でやってくれぇ

　今回の話は、とあるメーリングリストから始まる。仮にそのメーリングリストを"family-ml"と名付けておく。そのfamily-mlで論争が起きたのである。
　メーリングリストで論争が起きることはよくある。しかし、このfamily-mlは通常のメーリングリストではなかった。実は、とある家族を構成員とするものであった。そう、この家族は専用のメーリングリストを持っているのである。そこで、この論争は起きた。

　各登場人物の紹介は随時していこうと思う。

　この「母」はいまはやりのヤンママではない。戦中に生まれたお年の方である。去年辺りから仕事のない日に大学へ社会人学生として通うようになったのである。

　「兄」はとあるWEBのwebmasterである。「母」の年からすれば、そうそう若くもないことがわかる。

　「父」はhiraxという名前を数十年名乗ってきた、元祖hiraxである。

　確か、この「母」は去年は「応用化学」をとっていた。なぜ、そういう無理なことをしたがるのだ。
気持ちはわからないでもないが、もう少し考えて欲しいものである。

　うちの「母」はこうなると怖い。

　さて、配達された最後の手紙が以下である。

Date: Thu, 18 Dec 1999 08:43:06 +0900

To family-**@hirax.net　From 兄 Subject:Re: レポート課題がわからない 　昨日の電話など、何やらプレッシャーが感じられてきたので、適当に問題にとりかかって みました。答えが合っているどうかはわかりません。また、手元に資料が あまりないので、とんでもない間違いをしている可能性もあります。 　まずは、簡単そうな位置エネルギーと運動エネルギーから。「地球科学概論」 ということなので、式の導出までを求められてはいないと思います。そこで、 公式を使って解くことにします。 「問題」 　大気の持つ質量あたりのエネルギーを、次の二つの例について求めなさい。 　「下」　赤道付近の地表面付近の大気 高さ 0m、気温 300K、比湿 0.02(=20g/Kg)、風速(絶対値) 5m/s 「上」　赤道付近り対流圏界面付近の大気 高さ　15000m(=15Km)、気温(300-6×15)K、比湿 0、風速(絶対値)20m/s 「上」「下」それぞれについて 　　A　　内部エネルギーの温度に比例する部分 　　B　　内部エネルギーの水蒸気に比例する部分 　　C　　位置エネルギー 　　D　　運動エネルギー を求めよ。 「回答」 　高さ=h、質量=m、重力加速度=gとし、今回の問題で質量=m=1kgであることを考えて、位置エネルギーCは と書ける。これに 「上」　赤道付近り対流圏界面付近の大気　h=15000(m) 「下」　赤道付近の地表面付近の大気 h=0(m) を代入し、 「上」 1.47*10^(5) J 「下」 0 J を得る。 　運動エネルギーDは速度v(m/s)に対して、 となるから、 「上」　赤道付近り対流圏界面付近の大気　v=20(m/s) 「下」　赤道付近の地表面付近の大気 v=5(m/s) を代入し、 「上」 200 J 「下」 12.5 J を得る。 　さて、次に「A.内部エネルギーの温度に比例する部分、B.内部エネルギーの水蒸気に比例する部分」 です。空気は主として窒素N2と酸素)O2からなり、いずれも2原子分子である。また水分子H2Oは3原子分子であるが、酸素原子Oを中心とした結合角度の振動などが小さく、無視できるとして、2原子分子と同等の自由度であるものと近似する。また、 比湿 0.02(=20g/Kg)ということから、水分子の数は窒素、酸素に対して無視できる程少ないため、無視して良い。 　すると、1mol辺り気体のエネルギーを1(kg)辺りに直すために、上式に1000/28.94(g/mol)をかけた が求める答えである。 「上」　赤道付近り対流圏界面付近の大気　(300-6×15)K 「下」　赤道付近の地表面付近の大気 (300)K を代入し、 「上」 150752. J 「下」 215359. J を得る。 　最後に「B.内部エネルギーの水蒸気に比例する部分」であるが、水が液体から気体に変化するときのエネルギー収支を考る。蒸発熱が2498J/gであることを考え、計算を行う。 「上」　赤道付近り対流圏界面付近の大気　水蒸気0g 「下」　赤道付近の地表面付近の大気 水蒸気20g を代入し、 「上」 0 J 「下」 2498 * 20 = 49960. J を得る。当然のことですが、この水蒸気のエネルギーは 太陽のエネルギーが形を変えたものです。 　なお、検算も読み直しもしておりません。 兄

　ごくまれにではあるが、「課題を解いてください」という大学生からのメールが届くことがある。そういうメールを見るたびに「うーむ...」という気分になっていたのである。しかし、まさか自分の親の宿題をやるはめになるとは。しかもこの年になって...

■周期表から作るドラマティックな風景　

　d2003から、「周期表を3Dで表した美術展」という展示会を教えて頂いた。

各元素のさまざまな特徴——原子量やイオン化エネルギーなど——を図解した二次元の図表を作った。それから、できあがった図表を三次元グレースケールの等高地図に変え、その地形に合わせてフラクタルでドラマティックな風景を描き出した。

■動画観察が可能な「高速原子間力顕微鏡」　

　オリンパスが1秒間に12.5フレームの動画観察が可能な高速原子間力顕微鏡を発表。撮影した動画は例えばこんな感じ。

■2004年のニュースを振り返る　

　今年は、一月に一回いくつかニュースを選んでいた。そんな今年一年に選んだニュースを眺めて、振り返ってみる。というわけで、「IP糸電話」から「うれしいひとこと」までを、まずはとりあえず並べてみました。
　よく出てくるキーワード、私が今年気になったキーワードは…、「未来」「記録」「言葉」「見る・眺める」「科学・技術」…そして「女」「男」なんでしょうか…？2004年も間もなく終わろうとしているわけですが、来年、2005年は一体どんな未来になるんでしょうか？~　
■3月10日　「一人と一人を繋ぐ『IP糸電話』」「あなたの発明、印紙代金はさぁいくら？」「チョコレートの箱詰め問題」の「科学とお金とチョコレート」の三つのニュース

■4月7日　「顧客が本当に必要だったもの」「常識はずれの人たちに出会いたい」「好きな『ことば』でつくる砂時計」の「人と言葉」の三つのニュース

■4月9日　「私だけのGoogle検索」「携帯電話に『違う自分』が写る」「Googleが赤ちゃんだった頃」の「Googleも自分も変わる」三つのニュース

■5月12日　「紛争分布の可視化」「動画観察が可能な『高速原子間力顕微鏡』」「カメラ付き携帯とグリッド・コンピューティングで『お肌診断』」の「未来の可視化」の三つのニュース

■5月14日　「自動着色ソフトウェア『はいから』」「電子レンジの爆発タマゴで大ケガ」「仮装大賞『ピンポン』芸が世界の舞台へ」「不惑を迎えてなお現役のBASIC」の「思い込めば見えてくる？」4つのニュース

■6月9日　「自分への視線を発見・記録するメガネ」「米国防省の検閲塗りつぶし語句を解読」「『センター試験』と『二次試験』の得点は無関係？」「2つのスーパーコンピュータ：WindowsとGRAPE」の「見る・見られる・比べる」4つのニュース

■6月11日　「最新技術でロウ管レコードが美しく響く」「『匂い』と『景色』をつなぐ脳内リンク」「未来アンテナ」「ビル・アトキンソンの講演」の「思い返す・思いを馳せる」4つのニュース

■7月7日　「『叶わぬ望み』の青の薔薇」「チタン製の埋め込むブラジャー」「初の民間宇宙船をM&M'sチョコレートで祝う」「スーパークリエイターたちが描く、未踏の世界」の「未踏の世界は美しい？」4つのニュース

■7月9日　「新書マップで本棚散策」「働きバチが『怠け者』？」「携帯電話をポケットに入れると精子の数が30％減？」の「ちょっと一休み」する3つのニュース

■8月4日　「楽し懐かし、テレビゲームとデジタル科学展」「ホーキング博士も寺田寅彦もミスをする」「アウディがエッシャーの世界を走る」の「自らを振り返る夏休み」三つのニュース

■8月6日　「理想のカップはCカップ？」「『美人プログラミングスタイル』で心を癒す」「『女性客室乗務員』『女子アナ』の平均顔」の「男と女」三つのニュース

■9月8日　「ドーピング検査で精神力も測れる？」「脳医学的ペプシとコカコーラの差異」「『プロ野球の行方』を回帰分析する」の「スポーツとコーラ」三つのニュース

■9月10日　「遠くへ行きたい……ハトの知恵とカメの脚力」「『温泉』『美人の湯』を科学する」「『男の立ちション』は『的外れ』」の「「男と美女と旅に出る」 」三つのニュース

■10月6日　「『メッセージ』や『ゲーム』を空に浮かべる工作」「FPGAで蘇る懐かしの『マイコン』に落涙」「触れて伝える『人体通信』にドキドキ」の「浮かぶ・伝える・蘇る」三つのニュース

■10月8日　「ゴミ袋と水着の『透けない技術』」「22世紀、世界最速の人類は女性？」「SPAMメールの震源地」「フォント解析で政治が動く」「「女と男で世界が動く」四つのニュース

■11月3日　「ブラジャー（とその中身）への科学的？好奇心」「日本の科学のレベルを上げるには？」「ロゲルギスト今井功氏、死去」の「科学の楽しみ」三つのニュース

■11月5日　「携帯電話は体の一部」「家族の想い出がDVDで蘇る『フォトマイニングサービス』」「WEBログ『食べたものを淡々と記録するよ』は今日も続く 」の「毎日の記録と想い出の写真」三つのニュース

■12月1日　「『25億ピクセルのデジタル写真』以上にこまやかな機能」「全裸ヌードも写す!?空港の金属探知器」「TAROとHANAKOは精子減少を食い止めるか!?」の「景色とヌード？を眺める」三つのニュース

■12月3日　「『楽器の科学』で、鼻歌まじりにスウィング！」「男性の『悪臭』は究極の『媚薬』？」「Googleの『学術文献検索エンジン』」の「科学と技術と男と女」三つのニュース

■12月22日　「うれしいひとこと」