2010-04-12[n年前へ]
■拡散方程式で考える「あみだくじ空間」と「空間ワープ」 
「あみだくじ方程式を1次元拡散方程式を使ってエクセルで解いてみる」で、あみだくじの（平均的な）動き方を１次元の拡散方程式で解き、アタリを引く確率分布を考えてみました。
そのことに関して会話をしている中で、「とても新鮮で、着想が面白いな」と感じることがありました。そのアウトラインはいずれ平易な形で紹介させて頂くこととして、ここでは、マニアックで一般受けしそうにない部分を、マニアックで一般受けしそうにない記述で、そのとても面白かった話題を書いてみようと思います。
といっても、hirax.netを読みに来る人は、これすなわち、一般的ではないとってもニッチ（≠リッチ）な変わりものであるわけですから、そういった方には、ちょっと面白いのではないか・楽しめるのではないか、と思います。
前回紹介したように、あみだくじのアタリの場所がわかっている時には、その（平均的な）動き方を１次元の拡散方程式で解くことで、（平均的には）ここがアタリやすい場所だ、ということを求めることができます。アタリの場所が中央でなく、横線が十分にたくさんある場合には、アタリが左に寄っているなら左端、アタリが右に寄っているなら、右端がアタリやすい場所になります。横線の数が少なく、アタリが端にそれほど近くない場合には、アタリの真上がアタリの確率が高くなります。
端っこが確率が高くなるのは、両端がノイマン条件になっていて、両端で折り返される部分多重に重なるから、ということになります。部屋の中のゴミの動きをランダム・ウォークで考えたとき、四隅にゴミが滞留しやすいのと同じ具合です。
そんな話をしているとき、「じゃぁ、こんな線を引いたら？」「あるいは、こんなのは？」と言いながら、下図のような２つのケースのあみだくじ（の横線）を引かれました。…これは、ちょっと、とても面白い新鮮で面白い着想だと思いませんか？ 確かに、そういう線を、私たちはよく引きます。けれど、そういうことを、年を経るうちに、いつの間にか忘れてしまっていたことに気づかされました。
ちなみに、上図のケースＡのような場合、あみだくじを表現した１次元の拡散方程式で言うと、拡散の速さが速くなることになります。短い時間（あみだくじで言うなら、縦方向の距離で）で、アタリの場所が遠くまで移動していくことになります。つまり、遠くと遠くの空間を結び付ける、これは一種の”ワープ”する線です。
そして、上図 ケースＢの場合には、左右の両端が、「ノイマン条件」でなく、「周期境界条件」に（線の数がある分だけ）変化していきます。この場合も、結局は、一種の”ワープ”する線であって、それが空間の「反対側」どうしを結び付けている、という具合です。
結局、これらの”縦線をまたぐ”ような線は、離れた場所を強引に結びつけ、その空間どうしを”ワープ”できるようにすることで、隣り合った空間にさせてしまう、という恐ろしい効果をもっていることを、その当たり前のことを、空間内の拡散現象を表現する拡散方程式を解く、ということをする中で眺めると、ことさらに強く印象付けられます。
拡散方程式で考える「あみだくじ空間」と「空間ワープ」…何だか、そんなことを考え始めると、ルイス・キャロルの「不思議の国のアリス
この話題、もう少し、続きます。
だってそうでしょう？箱は開けてみなきゃ、中身はわからない。電話は出てみなきゃ、相手はわからない… 少なくとも、旧式の電話はね。
人の心だってそうよ。…こうして…ノックしてみないと、わからないの。
加納朋子「螺旋階段のアリス」
」など。