hirax.net::inside out::2010年05月16日

■Hodrick-Prescott フィルタのナゾ!?　

　経済オンチ解消のため、まずは景気動向を眺めてみようとふと思い、景気データを解析する手法について調べてみました。その作業をする中で、景気データから周期成分を取り除き、トレンド成分を導く手法の"Hodrick-Prescott filter"が気になり、頭から離れなくなりました。

　" Hodrick-Prescott filter"というのは、離散的な時系列データy(t)が与えられたとき、そのトレンド成分をτ(t)とすると、下記のような評価関数を最小化するようにτ(t)を定める、というものです。ちなみに、y(t)、および、τ(t)は、景気データを対数(log)値で示したものになります。

　この式を眺めれば、第二項は二階微分を中心差分でとり、その結果をデータ全域にわたり積分したものだということがすぐわかります。つまり、（景気データを対数軸で示したときの）直線からのズレ・ジグザグ度合いです。その直線からのズレ度合いに定数λを掛けたものです。ちなみに、このλは離散データが三か月ごとのデータであれば、（多くの場合）1600が使われます。もしも、サンプリング間隔が密になれば、二階微分の結果が小さくなるので、それを補うように大きな値が用いられます。また、サンプリング間隔が疎であれば、二階微分の結果は大きくなるということで、ラムダには小さな値が用いられます。たとえば、サンプリング間隔が１年なら、（多くの場合…は以下省略します）λは100が用いられますし、月ごとのデータであれば、14400が用いられますが、これは「二階微分値に対し自乗をとっている」ことを考えれば（その自乗分に比例定数λを合わせようと思うなら）、なるほど、と思えるはずです。

　また、第一項目は、トレンド成分と実データのズレ＝取り除きたい周期成分、をデータ全域にわたり積分したものです。ということは、このHodrick-Prescott フィルタは、「実データにトレンド成分がなるべく沿うようにした上で（第一項）、トレンド成分がなるべく対数軸上で直線になるようにする（第二項）」というものであることがわかります。そして、その第一項目と第二項目に対するバランス（評価関数の重み）が、第二項に掛けられてるλで与えられる、というわけです。λが大きければ、「実データから”周期成分”を大きく取り除く＝対数軸上で直線になるようにする」ことになりますし、ラムダが小さければ、「対数軸上での直線からのズレが大きくなってもいいから、実データに沿う＝”周期成分”をあまり取り除かない」ということになります。

　解説論文を読んだ印象は、この式のλは「米国景気データをもとにした合わせ込み（上手くつじつまがあうようにλを設定する）」で求められた結果であり、また、「対数軸上で景気動向は直線になる」という前提（背景）のもとに作られている、という具合です。（参考：「トレンドとサイクルの分解」の「実際には単位根の問題や成長率を問題にすべき点から、対数階差を原系列データにほど こしてから分析すべき」という辺り）

　このHodrick-Prescott フィルタが頭から離れなくなったのは、「Hodrick-Prescottフィルターをかける前の変数変換」という、専門の先生による記事を読んだからです。この記事では、Hodrick-Prescottフィルタは「そのままの値」にかけるのか、「対数変換した値」にかけるのか、それは「対数変換した値」が一般的だろう、と説明された上で、

　そのままの値にH-Pフィルターをかけた結果と対数変換した値にH-Pフィルターをかけた結果は基本な形状は変わらないはずですが、スケールが変わってしまうので注意が必要ではないかと思います。

　疑問を何とか形にしてみると、それはHodrick-Prescottフィルタの評価関数が「対数軸上で景気動向は直線になる」という考えのもとに作られているの（ように見える）に対し（しかも、評価関数の第二項目は単に景気のトレンドを（与えられた軸で）直線にしようとする働きしか持たないにも関わらず）、線形値に対してHodrick-Prescottフィルタを掛けた場合、「対数軸上で現した場合に景気動向が直線になる」ようなトレンド成分が得られるのだろうか？本当に「基本な形状は変わらない」のだろうか？という疑問です。この評価関数を最小化しようとした場合に、対数軸でも線形軸でも「基本な形状は変わらない」のはどうしてだろう？という疑問です。

　きっと、式を追いかけてみれば、あるいは、いくつかの例を解いてみれば、この疑問は解消する（理解できる）はず…と思えます。というわけで、とりあえず、この「Hodrick-Prescott フィルタのナゾ!?を解く（きちんと理解する）」ことを、メモ帳のTo Doリストに書き入れておこうと思います。