hirax.net::inside out::2012年04月23日

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2012-04-23[n年前へ]

ぼくらが見慣れた2次方程式のグラフは…「胸の谷間」の方程式だった! 

中学生か高校生の頃、XY平面の上にy=x^2+1といった2次方程式のグラフを描き、さらにそのXY平面の上にy=0という直線を描き、そのふたつのが交点を持たないので、x^2+1=0という方程式は実数解を持たない…という説明を聞いた覚えがあります。

 けれど、2次方程式の解の公式を解けば、そのy=x^2+1という方程式は2つの解、2つの複素数の解を何処かに持っている…という説明を聞きながら、何だか腑に落ちなかったような気がします。

 先日、「複素数係数を持つ2次方程式の(複素数)解を”可視化する”エクセルシート」を作ってみましたエクセルで2次方程式の「解の配置」を図示してみる!?)。そして、x^2+1=0という方程式の解を眺めながら、ふとこんなことを思いました。

なんだ、これがぼくたちの探している青い鳥なんだ。
ぼくたちは、ずいぶん遠くまで青い鳥を探しに行ったけど…
本当は、いつもここにいたんだ。

 複素空間上に、実に単純な2次方程式が描く曲面は、ふたつの(まるで胸のような)ふくらみを見せ、…x^2+1=0という方程式こそが、人を魅惑する何よりホンモノの「おっぱい曲面方程式」だったのではないか、と思ったのです。これまでに、たくさんの「おっぱい方程式」を眺めてきたけれど…x^2+1という思春期に眺めた式こそが、本当のおっぱい方程式ではなかったか…と気づいたのです。

 たとえば、下のグラフは複素空間上でx^2+1という式で求められる値と0という値の間の距離(ユークリッド・ノルム)を(縦軸を反転しつつ)描いてみたものです。つまり、それはx^2+1=0という方程式への「複素空間上での解への”近さ”」をグラフにしたものです。

 i(アイ)と-i(アイ)という虚軸上に頂(いただき)、すなわち解を位置させる「ふくらみ」は、それはまさに「おっぱい曲面」を感じさせます。…というより、これが「おっぱい」でなかったら、一体何だというのだ…という姿形をしています。けれど、この「美しい曲面」は、ただ複素空間上に描かれた ”x^2+1”というだけの曲面です。

 そして、こんなグラフを眺めながら、…ぼくらが見慣れた実数で描かれたXY平面上の2次方程式のグラフは…複素空間上にあるはずの「おっぱい曲面」上に(ふたつの胸を分けるように)描かれた一本の曲線だった!…私たちが見慣れたあの曲線は「(魅惑の)胸の谷間の方程式」だった!と気づいたのです。

 たとえば、上のおっぱい曲面を2分するように描かれた黒い線こしが、黒板の上に繰り返し眺めたはずの”y=x^2+1”という、単純で見慣れた2次曲線です。

 中学生の頃、黒板の上に見た「XY平面上に2次方程式のグラフ」は「胸の谷間の曲線」であったし、その魅惑曲線の向こうには複素空間上のおっぱい曲面があった…なんて、何だか凄いと思いませんか?

ふたつの胸のふくらみは、
何でもできる証拠なの。

「魔女っ子メグちゃん」

本当の「おっぱい曲面方程式」はx^2+1=0だった!?